¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] i [/ matemáticas]?

Answer 1

Aquí hay muchas respuestas demasiado complicadas, así que voy a proporcionar una simple. Para aplicar, no necesariamente para derivar … Puede expandir la función exponencial como una serie de Taylor. Si lo hace, encontrará que cada número complejo se puede representar como:

[matemáticas] c = re ^ {i \ theta} = r (cos \ theta + i sin \ theta) [/ matemáticas],

Entonces, para [matemática] c = i [/ matemática], tenemos [matemática] r = 1 [/ matemática] y [matemática] sin \ theta = 1 [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ theta = 2n \ pi + {\ pi \ over {2}} [/ matemáticas]

Como podemos dar la vuelta al círculo un número arbitrario de veces, n es cualquier número entero.

Por lo tanto, puede reescribir [matemáticas] i [/ matemáticas] como:

[matemáticas] e ^ {i (2n \ pi + {\ pi \ over {2}})} [/ matemáticas]

Hasta ahora parece que lo hice mucho más complicado, pero la belleza de esta notación se hará evidente en breve. Antes de mirar la raíz cuadrada de un número imaginario, comencemos con algo mucho más simple. La raíz cuadrada de 1.

[matemáticas] 1 = e ^ {i2n \ pi} [/ matemáticas]

La raíz cuadrada entonces:

[matemáticas] 1 ^ {0.5} = e ^ {en \ pi} [/ matemáticas]

Normalmente no ampliaría esto, pero lo haré por razones de claridad:

[matemáticas] 1 ^ {0.5} = cos \, n \ pi + i \, sin \, n \ pi [/ matemáticas]

El primer aviso es para cualquier número entero, [math] i \, sin \, n \ pi = 0 [/ math]

Segundo aviso si n es par, [matemática] cos \, n \ pi = 1 [/ matemática] y si n es impar, [matemática] cos \, n \ pi = -1 [/ matemática].

Entonces,

[matemáticas] 1 ^ {0.5} = \ pm {1} [/ matemáticas]

Ahora estamos listos para abordar la raíz cuadrada de [math] i [/ math].

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = e ^ {i (n \ pi + {\ pi \ over {4}})} [/ matemáticas]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = e ^ {i (n \ pi)} e ^ {i \ pi \ over {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = 1 ^ {0.5} e ^ {i \ pi \ over {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = \ pm {e ^ {i \ pi \ over {4}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = \ pm (cos ({\ pi \ over {4}}) + i sin ({\ pi \ over {4}})) [/ math]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = \ pm ({1 \ over \ sqrt {2}} + {i \ over \ sqrt {2}}) [/ math]

[matemáticas] {i ^ {0.5}} = \ pm ({{1 + i} \ over \ sqrt {2}}) [/ matemáticas]

Probablemente sigas pensando que esto parece demasiado complicado, ¿no? Pero, ¿qué sucede cuando te pregunto cuál es la raíz en cubos de [math] i [/ math]. Apuesto a que ahora sabes cómo resolver para encontrar las tres respuestas usando las matemáticas que aprendiste en la escuela secundaria.

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Para obtener puntos de bonificación, abordemos un problema que cree que conoce las respuestas:

¿Cuál es la raíz cubica de 1?

[matemática] 1 ^ {1 \ over {3}} = e ^ {i2n \ pi \ over {3}} [/ math]

[matemáticas] 1 ^ {1 \ over {3}} = cos ({2n \ pi \ over {3}}) + i \, sin ({2n \ pi \ over {3}}) [/ math]

Esto en realidad nos da tres respuestas únicas. Si [math] n [/ math] es divisible por 3,

[matemáticas] cos (0) + i \, sin (0) = 1 [/ matemáticas]

Si el resto de n dividido por 3 es 1,

[matemáticas] cos ({2 \ over {3}} \ pi) + i \, sin ({2 \ over {3}} \ pi) = – {1 \ over {2}} + i \, {\ sqrt {3} \ over {2}} = {{-1 + i \, \ sqrt {3}} \ over {2}} [/ math]

Si el resto de n dividido por 3 es 2,

[matemáticas] cos ({4 \ over {3}} \ pi) + i \, sin ({4 \ over {3}} \ pi) = – {1 \ over {2}} – i \, {\ sqrt {3} \ over {2}} = [/ math] [math] {{- 1-i \, \ sqrt {3}} \ over {2}} [/ math]

Las dos respuestas que no aprendió en la escuela primaria para [matemáticas] 1 ^ {1 \ over {3}} [/ matemáticas] son:

[matemáticas] {{- 1 \ pm {i} \, \ sqrt {3}} \ over {2}} [/ matemáticas]

Answer 2

Aquí es donde la fórmula de Euler sería útil.

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

Observe que [math] e ^ {i \ theta} = e ^ {i (\ theta + 2 \ pi n)} [/ math] cuando [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Vamos a conectar [math] \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]

[matemáticas] e ^ {i (\ pi / 2 + 2 \ pi n)} = \ cos {(\ dfrac {\ pi} {2} +2 \ pi n)} + i \ sin {(\ dfrac {\ pi} {2} +2 \ pi n)} = i [/ matemáticas]

Ahora sacar la raíz cuadrada de algo es lo mismo que elevarlo a la potencia de 1/2

[matemáticas] \ sqrt {i} = (e ^ {i (\ pi / 2 + 2 \ pi n)}) ^ {1/2} = e ^ {i (\ pi / 4 + \ pi n)} = \ cos (\ dfrac {\ pi} {4} + \ pi n) + i \ sin (\ dfrac {\ pi} {4} + \ pi n) [/ math]

Creo que la fórmula de Euler es simplemente hermosa, conecta trigonometría (y consecuentemente pi), números complejos y e, todo en una fórmula.

Answer 3

Usando la forma polar del complejo, generalmente se sabe que

[matemáticas] \ displaystyle i = e ^ {\ frac {i \ pi} {2}} [/ matemáticas]

Pero el formulario completo debe ser

[matemáticas] \ displaystyle i = e ^ {i \ left (2k \ pi + \ frac {\ pi} {2} \ right)}, \ forall k \ in \ Z [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {i} = i ^ {\ frac {1} {2}} = e ^ {i \ left (k \ pi + \ frac {\ pi} {4} \ right)}, \ forall k \ in \ Z [/ matemáticas]

Cuando [math] k [/ math] es par, es así: [math] \ displaystyle k = 2n, \ forall n \ in \ Z \ por lo tanto \ sqrt {i} = e ^ {i \ left (2n \ pi + \ frac {\ pi} {4} \ right)}, \ forall n \ in \ Z [/ math]

Pero cuando [math] k [/ math] es impar, es así: [math] \ displaystyle k = 2n + 1, \ forall n \ in \ Z \ por lo tanto \ sqrt {i} = e ^ {i \ left ( (2n + 1) \ pi + \ frac {\ pi} {4} \ right)} = e ^ {i \ pi} \ times {e ^ {i \ left (2n \ pi + \ frac {\ pi} {4} \ right)}} = -e ^ {i \ left (2n \ pi + \ frac {\ pi} {4} \ right)}, \ forall n \ in \ Z [/ math]

Desde [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math]. Entonces tienes dos soluciones, una opuesta a la otra:

[matemáticas] \ displaystyle (i) \ sqrt {i} = cis {\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right)} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} (1 + i) [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (ii) \ sqrt {i} = -cis {\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right)} = – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (1+ i) [/ matemáticas]

Answer 4

¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] 9 [/ matemáticas]?

Bueno, es [matemáticas] 3 [/ matemáticas], por supuesto.

¿Recuerdas cuando aprendiste eso? ¿Quizás lo descubriste tú mismo? Si lo hiciste, no fue porque seguiste alguna receta mágica para encontrar raíces cuadradas. Simplemente sabía que [matemáticas] 3 \ veces 3 = 9 [/ matemáticas], y luego aprendió que multiplicar algo por sí mismo se llama “cuadratura”, entonces [matemáticas] 3 ^ 2 = 9 [/ matemáticas], y luego usted se les enseñó que “raíz cuadrada” significa “aquello que, cuando se eleva al cuadrado, da el número”, y reconocieron [matemáticas] 3 [/ matemáticas] como la raíz cuadrada de [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

Más tarde, notó que [matemáticas] (- 1) (- 1) = 1 [/ matemáticas], y como resultado [matemáticas] (- 3) ^ 2 = 9 [/ matemáticas] también. Entonces [math] 9 [/ math] realmente tiene dos raíces cuadradas, y también [math] 16 [/ math], y así sucesivamente. De hecho, cada vez que algo tiene una raíz cuadrada [matemática] a [/ matemática], también tiene [matemática] -a [/ matemática] para una raíz cuadrada, ya que [matemática] (- a) ^ 2 = a ^ 2 [ /matemáticas].

¿Qué pasa con la raíz cuadrada de [matemáticas] 18 [/ matemáticas]?

Bueno, [math] 18 = 2 \ times 9 [/ math], entonces cualquiera que sea la raíz cuadrada de [math] 2 [/ math], podemos multiplicarlo por [math] 3 [/ math] y obtener una raíz cuadrada de [matemáticas] 18 [/ matemáticas]. Simplemente,

[matemáticas] (\ sqrt {2} \ veces 3) ^ 2 = 2 \ veces 9 = 18 [/ matemáticas].

Del mismo modo, [math] \ sqrt {90} = 3 \ sqrt {10} [/ math], y así sucesivamente.

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Okay. Ahora, te presentaron esos nuevos números complejos , hechos de una raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], llamada [matemáticas] i [/ matemáticas]. Antes de intentar responder preguntas difíciles como las raíces cuadradas de [matemáticas] i [/ matemáticas], debemos hacer lo que hicimos cuando éramos niños: cosas al azar cuadradas y ver qué obtenemos.

¿Qué es [matemáticas] i ^ 2 [/ matemáticas]? Bueno, es [matemáticas] -1 [/ matemáticas], por supuesto.

¿Qué es [matemáticas] (2i) ^ 2 [/ matemáticas]? Claramente [matemáticas] -4 [/ matemáticas].

Ahora, ¿qué tal algo más complicado como [matemáticas] 1 + i [/ matemáticas]? Lo más importante aquí es acostumbrarse a tales manipulaciones. Las leyes habituales de álgebra todavía se aplican. Todo lo que necesitas es recordar que [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

Entonces:

[matemáticas] (1 + i) ^ 2 = (1 + i) (1 + i) = 1 + i + i + i ^ 2 = 1 + 2i-1 = 2i [/ matemáticas]

Bueno. No encontramos una raíz cuadrada de [math] i [/ math], pero sí encontramos una raíz cuadrada de [math] 2i [/ math]. ¿Podemos arreglarlo?

Claro, al igual que manejamos [matemáticas] 18 [/ matemáticas]. Si [math] 1 + i [/ math] al cuadrado es [math] 2i [/ math], solo tenemos que dividirlo por la raíz cuadrada de [math] 2 [/ math] y estamos en casa libres.

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {(1 + i) ^ 2} {2} = \ frac {2i} {2 } = i [/ matemáticas]

Y ahi tienes. Has encontrado la raíz cuadrada de [matemáticas] i [/ matemáticas] simplemente jugando con números simples al cuadrado, de la misma manera que has encontrado la raíz cuadrada de [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

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Como de costumbre, el negativo de este número también es una raíz cuadrada de [math] i [/ math]. Entonces, las dos raíces cuadradas de [math] i [/ math] ahora nos son conocidas.

Cuando te adentras más, aprendes mejores formas de encontrar raíces cuadradas (y raíces más altas) de números complejos, y aprendes la agradable interpretación geométrica que tienen y la conexión con la función exponencial.

Pero para comenzar, todo lo que necesita hacer es lo que hizo cuando aprendió aritmética por primera vez: solo juegue.

Answer 5

Aquí hay una manera:

1. Dibuje un gráfico de coordenadas xy en su papel, pero etiquete el eje y como el eje i.
2. Trace un punto en (0, 1). Esto representa el número (0 + 1 i )
3. Dibuje un círculo centrado en (0, 0) que pase por el punto (0, 1).
4. Marque un punto en el círculo que esté a medio camino entre el eje x positivo (el punto (1, 0) está en el círculo en ese punto). Es la misma distancia desde su punto marcado y ese eje.
5. Marque otro punto que esté a medio camino entre esos puntos en la otra dirección.
6. Calcule las coordenadas de estos dos puntos. Están en [matemáticas] (\ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2}) [/ matemáticas] y en [matemáticas] (- \ frac {\ sqrt2} {2}, – \ frac {\ sqrt2} {2}) [/ math]
7. Traduce estas coordenadas en forma (x + y i ).
8. Las raíces cuadradas de i son [matemáticas] \ frac {\ sqrt2} {2} + \ frac {\ sqrt2} {2} i [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ frac {\ sqrt2} {2} – \ frac {\ sqrt2} {2} i [/ math]
9. Asegúrese de verificar dos veces su respuesta cuadrando sus respuestas para ver si obtiene lo que comenzó.

Sí, puede usar este método para encontrar la raíz cúbica o la cuarta raíz, especialmente si usa cosenos y senos. En esta imagen, verá que el punto verde está a 90 grados, así que coloco el primer punto rojo a la MITAD de 90, o 45 grados, luego agrego 180 grados para obtener el otro punto rojo.

PASO CUATRO: Marque un punto que esté a un tercio del camino desde el eje x positivo hasta el punto marcado (para la raíz cúbica); un cuarto del camino para la cuarta raíz; un quinto del camino para la quinta raíz, etc.

PASO CINCO: Marque los otros puntos para que tenga un número TOTAL de puntos que coincida con la raíz, tres puntos para la raíz cúbica, cuatro puntos para la cuarta raíz, etc. Asegúrese de que TODOS los puntos estén equidistantes entre sí, el punto PASO CUATRO y los otros puntos nuevos.

Para calcular las tres raíces cúbicas de i , pondría el primer punto rojo a un tercio de 90 grados alrededor del círculo, a 30 grados, luego dividiría 360 por 3 para obtener 120 grados. Los otros dos puntos irían a 150 grados y a 270 grados.

También puede intentar pedirle a su calculadora gráfica que haga algunos cálculos por usted. Estos son los pasos para calcular las raíces cúbicas de (0 + i):

• 0 → A ………. la parte real de (a + b i )
• 1 → B ………. la parte imaginaria de (a + b i )
• 3 → R ………. la raíz, 3 para la raíz cúbica
• 90 + 180 (B <0) → D ………. esto se encarga cuando A = 0
• Si A: tan [matemática] ^ {- 1} [/ matemática] (B / A) → D ………. calcular la medida del ángulo
• D / R → E ………. calcular la raíz principal del ángulo
• Cos (E) + Sin (E) i ………. esto da la raíz cúbica principal de (a + b i )
• Cos (E + 120) + Sin (E + 120) i ……… segunda raíz cúbica
• Cos (E + 240) + Sin (E + 240) i ………. raíz del tercer cubo

Después de hacer esto varias veces con algunos números diferentes, puede convertir esto en un PRGM que lo hace automáticamente. Aquí está la pantalla de salida para mi PRGM cuando le pregunté por las tres raíces cúbicas de i (A = 0, B = 1, R = 3):

Apuesto a que podrías escribir un programa así.

Y aquí está la pantalla para las sextas raíces de i:

Intenta escribir un programa así. No es tan dificil.

Answer 6

Gracias por preguntar.

Esto recuerda una anécdota:

Me hicieron la misma pregunta en una clase de física (días escolares), en realidad la pregunta era: ¿Qué es i o iota? y mi respuesta súper fascinante fue: es -1 (en realidad no he revisado el capítulo de vectores antes de esa clase y lo único que sabía era el número complejo i (iota) sq-root (i) = – 1.) Resultado- Toda la clase se echó a reír y pensé: común, lo dije bien, pero finalmente entendí que fallé aquí.

De vuelta a su pregunta: ¿Qué es √i? ¿Cual es la respuesta? ¿Hay una manera simple de definirlo?

Primero hágales saber a todos: ¿Qué es iota (i)?

Respuesta: Iota es una letra griega que se usa ampliamente en matemáticas para denotar la parte imaginaria de un número complejo.

• Digamos que tenemos una ecuación: x ^ 2 + 1 = 0.
• En este caso, el valor de x será la raíz cuadrada de -1, que básicamente no es posible.
• Para resolver tales ecuaciones que requieren la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se introdujo el concepto de números complejos.
• Iota (i) se usa para denotar la raíz cuadrada de -1. Algunas personas también pueden definir iota como un número cuyo cuadrado es -1.
• Ahora podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo usando iota. Por ejemplo, la raíz cuadrada de -55 será sqrt (55) × i.
• A veces, los números complejos se usan para representar coordenadas en dos dimensiones con el eje X representando números reales y el eje Y representando números complejos. Por ejemplo: las coordenadas (3,4) se pueden escribir como un número complejo como 3 + 4i. Este podría ser el caso en ciertos temas de física.

PD: No tengo símbolos matemáticos en mi teclado, de ahí esta larga explicación. Lo siento por eso.

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¿Qué es √i ahora? ¿Cual es la respuesta? ¿Hay una manera simple de definirlo?

Respuesta: i = e (iπ / 2). [Matemáticas] i = e (iπ / 2). [/ Matemáticas]

Por lo tanto, √i = ± e (iπ / 4) = ± (cos (π / 4) + isin (π / 4))

Espero que esto ayude. 🙂

Answer 7

Uno puede resolverlo fácilmente con [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] i = e ^ {i * \ pi / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {i} = e ^ {(i * \ pi / 2) / 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {i * \ pi / 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos {\ pi / 4} + i * \ sin {\ pi / 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + i * \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

Answer 8

La raíz cuadrada de una raíz cuadrada es la cuarta raíz.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 16 es 2: la raíz cuadrada de 16 es 4 y la raíz cuadrada de 4 es dos. Podemos ver esto usando el reverso de la cuarta raíz (es decir, la cuarta potencia): [matemática] 2 ^ 4 = 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 [/ math]

Entonces su pregunta es: ¿cuál es la cuarta raíz de -1, o cuál es la cuarta potencia? Google dice que es [matemáticas] 0.707106781 + 0.707106781 i [/ matemáticas].

Lo que es interesante observar es que si toma estos dos números (los cuales son 0.707106781) y los usa en la fórmula de la distancia, obtendrá una distancia de uno. Si tomamos la raíz cuadrada de la raíz cuadrada, o cuarta raíz, una raíz positiva, también obtendríamos una.

Answer 9

La raíz cuadrada de [matemática] i [/ matemática] es algún número complejo [matemática] a + bi [/ matemática] tal que [matemática] (a + bi) ^ {2} = i [/ matemática].

Podemos encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] al reorganizar la ecuación:

[matemáticas] (a + bi) ^ {2} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + 2abi – b ^ 2 = i [/ matemáticas]

[matemáticas] (a ^ 2 – b ^ 2) + (2ab) i = i [/ matemáticas]

Para que la ecuación anterior sea verdadera, [matemática] 2ab [/ matemática] debe ser igual a [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] (a ^ 2 – b ^ 2) [/ matemática] debe ser igual a [matemática] ] 0 [/ matemáticas].

Si…

[matemáticas] a ^ 2 – b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

entonces…

[matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, vamos a nuestra otra ecuación,

[matemáticas] 2ab = 1 [/ matemáticas]

cuadrado a ambos lados,

[matemáticas] 4 a ^ 2 b ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

luego usando el hecho de que [matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 a ^ 2 a ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4 = \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ pm \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta es [matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} i [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {-1} {\ sqrt {2}} – \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} i [/ math]

Y si desea racionalizar el denominador, puede multiplicar la parte superior e inferior por [math] \ sqrt {2} [/ math] para obtener [math] \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + \ dfrac { \ sqrt {2}} {2} i [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {- \ sqrt {2}} {2} – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i [/ matemáticas]

Answer 10

Antes de responder, abordo una posible pregunta oculta: para dar significado a la expresión [matemáticas] \ sqrt {-1} [/ matemáticas], los matemáticos inventaron el símbolo [matemáticas] i [/ matemáticas]. Entonces, uno puede preguntarse si necesita introducir un símbolo adicional para representar [math] \ sqrt i [/ math]. Lo bueno es que la respuesta es negativa: [math] i [/ math] es suficiente para representar su raíz cuadrada y cualquier otro poder en sí mismo. Eso hace que el conjunto de los números complejos sea un universo bastante interesante, que está cerrado para las operaciones fundamentales.

Dicho esto, suponga que [math] \ sqrt i = a + ib [/ math]. Entonces [matemáticas] i = (a + ib) ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 + i2ab [/ matemáticas]. Al equiparar las partes reales, [matemáticas] a = \ pm b [/ matemáticas] y las partes imaginarias, [matemáticas] a = \ pm1 / \ sqrt 2 [/ matemáticas]. Como puede ver, hay varias soluciones, y la “preferida” es [matemáticas] (1 + i) / \ sqrt 2 [/ matemáticas].

Answer 11

La raíz cuadrada de i es 1 / 2√2 + i / 2√2. Para comprender por qué, debe comprender cómo funciona la multiplicación en el plano complejo. Para números reales, puede pensar en la multiplicación como estirar la recta numérica. Por ejemplo, para multiplicar n por dos, estira la recta numérica hasta que 1 es donde solía estar 2 (siempre manteniendo cero en el mismo lugar). Cualquier número que solía estar donde n ahora es 2n. Con números complejos, esto se vuelve un poco más complicado porque no solo estira el plano numérico, sino que también lo gira. Para i, no tenemos que estirarlo en absoluto ya que el valor absoluto de i es 1, pero tenemos que rotarlo. i está a 90 grados de distancia de 1 en el plano complejo, por lo que para multiplicar por i rotamos el plano por 90 grados. Por la definición de la raíz cuadrada, √i * √i = i. Esto significa que multiplicar por la raíz cuadrada de i dos veces es lo mismo que rotar el plano complejo 90 grados; por lo tanto, multiplicar por la raíz cuadrada de i significa rotar el plano 45 grados. Sabemos que √i está en el círculo unitario debido a una propiedad de raíces cuadradas √ | x | = | √x | y el hecho de que | i | = 1. Para encontrar el punto que está a 45 grados alrededor del círculo unitario, solo usamos cos (45 °) + i * sin (45 °), ya que la parte real es la distancia horizontal desde cero y la parte imaginaria la altura. Esto produce la respuesta anterior.

Si le resulta difícil seguir la parte sobre la multiplicación en el plano complejo, puede ver este video de 3Blue1Brown, quien lo explica en profundidad, y probablemente mucho mejor que yo, para explicar un concepto similar.

Answer 12

Hay una intuición útil escondida en esta pregunta. Si considera multiplicar por -1 como una rotación de 180 grados a partir de 1, cuando aparezca, puede pensar que es una rotación de 90 grados en sentido antihorario de la misma manera. Cuando multiplica un número en el plano complejo por i, simplemente lo gira 90 grados en sentido antihorario. En este contexto, la raíz cuadrada de un número es una que podría multiplicar 1 por dos para obtener su número. Es por eso que -1 funciona como una de las raíces cuadradas de 1: realice dos rotaciones de 180 grados desde 1 y llegue a 1. Entonces, ¿qué número está ‘a medio camino’ de 1 a -1? Eso es 90 grados, entonces es i (la raíz cuadrada de -1). Del mismo modo, a la mitad de 1 a i dará la raíz cuadrada de i. 45 grados es más incómodo de ver en un diagrama de Argand, pero está allí: la distancia desde el origen sigue siendo 1 como 1, -1 e i, pero con partes reales e imaginarias iguales. Funciona como 1 / root2 + 1 / root2 i. Alrededor de 0.707 + 0.707i.

Answer 13

Usando un Diagrama de Argand puedes visualizarlo gráficamente. Cuando multiplicas dos números juntos, multiplicas la longitud de los radios y sumas los ángulos. La longitud del radio de i es 1, por lo que no hay cambio en eso. Por lo tanto, debe encontrar los ángulos que, cuando se suman, forman 90 °. Entonces las respuestas son:

[matemáticas] \ dfrac {1 + i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {-1 – i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] e ^ {i \ pi / 4} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {i5 \ pi / 4} [/ matemáticas]

es decir, theta = 45 ° o 225 °

Answer 14

Como [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]

Podemos ver eso; [matemáticas] e ^ {i \ pi / 2} = i [/ matemáticas]

Por lo tanto, cuando sacamos raíz cuadrada de ambos lados obtenemos:

[matemáticas] e ^ {i \ pi / 4} = i ^ {1/2} [/ matemáticas]

Y eso es

[matemáticas] cos (\ pi / 4) + isin (\ pi / 4) = \ frac {1 + i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Answer 15

Supongamos que hemos escuchado que los números complejos se cierran bajo la operación de tomar raíces cuadradas, entonces podemos suponer que hay una solución de la forma

[matemáticas] \ sqrt i = x + iy [/ matemáticas]

y podemos resolver para (real) [matemáticas] x, y [/ matemáticas].

Cuadrando ambos lados tenemos

[matemáticas] 0 + i = x ^ 2-y ^ 2 + i2xy [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow 2xy = 1, \ quad x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow x = y = \ frac1 {\ sqrt2} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ sqrt i = \ dfrac {1 + i} {\ sqrt2} [/ math]

QED

Editar: aparentemente algunas personas creen que [math] \ sqrt2 [/ math] representa un solo valor positivo, por lo que desearía que la respuesta se expresara de la siguiente manera:

[matemáticas] x = y = \ pm \ frac1 {\ sqrt2} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ sqrt i = \ pm \ dfrac {1 + i} {\ sqrt2} [/ math]

Prefiero la interpretación de que [math] \ sqrt x [/ math] tiene varios valores en todas las circunstancias, y debe decir algo explícito para seleccionar solo uno de esos valores.

Answer 16

En el plano complejo, los números complejos se pueden representar de dos maneras, con coordenadas rectangulares ([matemáticas] a + bi [/ matemáticas]) o en coordenadas polares ([matemáticas] r = n, \ theta = m ^ \ circ [/ matemáticas]).

Para las raíces en el plano complejo, es más fácil usar coordenadas polares.

Primero tenemos que convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares.

Las reglas son estas:

[matemáticas] a + bi \ to (r, \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {b} {a} \ right) [/ math]

[matemáticas] (r, \ theta) \ a a + bi [/ matemáticas]

[matemáticas] a = r \ cos (\ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas]

Usando estas reglas, [matemáticas] 0 + i [/ matemáticas] en coordenadas polares es: [matemáticas] (r = 1, \ theta = 90 ^ \ circ) [/ matemáticas]

Ahora que tenemos las coordenadas polares, tenemos que entender cómo funciona la exponenciación en el plano complejo.

La exponenciación en el plano complejo puede verse como una rotación. Si toma un Número complejo y lo eleva a una potencia arbitraria, en Coordenadas polares, esta exposición multiplica [math] \ theta [/ math] por la potencia que elevó el número, por ejemplo, [math] 1 + i [/ matemática] en coordenadas polares es [matemática] (r = 1, \ theta = 45 ^ \ circ) [/ matemática], si la cuadras, se convierte en [matemática] 2i [/ matemática] que en coordenadas polares es [matemática] (r = 1, \ theta = 90 ^ \ circ) [/ math], como puede ver, [math] \ theta [/ math] se duplicó; funciona para cada poder que elijas.

Ahora, volviendo a su pregunta, [math] \ sqrt {i} [/ math] puede reescribirse como [math] i ^ \ frac {1} {2} [/ math].

[matemáticas] i [/ matemáticas] en coordenadas polares es [matemáticas] (r = 1, \ theta = 90 ^ \ circ) [/ matemáticas]

Para encontrar [matemática] i ^ \ frac {1} {2} [/ matemática] tenemos que multiplicar [matemática] \ theta [/ matemática] por [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática], get [math] 45 ^ \ circ [/ math], el radio en este caso sigue siendo el mismo (solo porque el valor inicial era [math] 1 [/ math]).

Para obtener las coordenadas rectangulares, usamos las fórmulas que escribí antes: [matemáticas] a = r \ cos (\ theta) [/ matemáticas], [matemáticas] b = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas], conectando el valores que obtenemos [matemática] a = 1 \ cos (45 ^ \ circ) [/ matemática], [matemática] b = 1 \ sin (45 ^ \ circ) [/ matemática].

El seno y el coseno de [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas] es el mismo: [matemáticas] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas].

Finalmente obtenemos [math] \ sqrt {i} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

Espero que esto ayude:)

No dudes en preguntar si no entiendes algo

Answer 17

Para encontrar la raíz cuadrada de i nosotros simplemente puede usar el teorema de De Moivre.

Primero expresa 0 + i en forma polar.

El módulo (longitud) = 1

El argumento (ángulo) = 90 grados

Entonces yo o 0 + i = 1cis (90)

Cambiar la raíz cuadrada a la potencia de la mitad:

= cos 45 + i sen45

= 0.707 + 0.707i

Answer 18

[matemáticas] i [/ matemáticas]

= [matemáticas] 1/2 × {2i} [/ matemáticas]

= [matemáticas] 1/2 × {(1 + 2i-1)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] 1/2 × {(1 ^ 2 + 2 × i × 1 + i ^ 2)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] 1/2 × {(1 + i)} ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] i = 1/2 × {(1 + i)} ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {i} = \ pm1 / \ sqrt {2} × (1 + i) [/ matemáticas]

Answer 19

Los valores para la raíz cuadrada de i (√i) son: (1 / √2) + (1 / √2) i y (-1 / √2) – (1 / √2) i.

Una forma de lograr este resultado es mediante el uso de la ecuación (a + bi) ^ 2 = i. Por expansión obtienes (a ^ 2 – b ^ 2) + (2ab) i = 0 + 1i.

Al igualar los componentes reales e imaginarios de esta ecuación, se encuentra que a ^ 2 – b ^ 2 = 0 y 2ab = 1 (después de dividir ambos lados de 2abi = 1i por i).

Si resuelves a usando la ecuación a ^ 2 – b ^ 2 = 0 obtienes que a = ± b. Sin embargo, a no puede ser igual a -b porque conectar -b para a en la ecuación 2ab = 1 daría como resultado: -2b ^ 2 = 1. Resolver esta ecuación para b daría como resultado la raíz cuadrada de un número negativo y esto no es posible porque esta ecuación 2ab = 1 solo trata con números reales.

Esto significa que a debe ser igual a la segunda opción, que es + b. Si a = + b, entonces conectando a for b en la segunda ecuación (2ab = 1), resulta en 2a ^ 2 = 1. Resolver para a significa que a = ± (1 / √2), y si a = b , entonces b también es igual a estos dos valores.

Si conectamos los valores resueltos a & b en la ecuación original (a + bi) ^ 2 = i, encontramos que ((1 / √2) + (1 / √2) i) ^ 2 = i y (( -1 / √2) – (1 / √2) i) ^ 2 = i, lo que demuestra que estos valores son la raíz cuadrada de i.

Answer 20

La fórmula de Euler: e ^ ix = cos x + i sen x

i = 0 + 1 = cos pi / 2 + i sen pi / 2 = e ^ i (pi / 2)

sqrt (i) = i ^ 1/2 = (e ^ i (pi / 2)) ^ 1/2 = e ^ i (pi / 4)

Esto puede parecer un poco arcano, pero la clave es simplemente saber lo que significa la fórmula de Euler. Ah, y conocer los valores exactos de cos (pi / 4) y sin (pi / 4) pero realmente no tengo ganas de buscarlo, ya que el número se verá feo de todos modos.