Puede resolver esto convirtiéndolo en una forma polar y luego exponencial
es decir, [math] z = r \ mathrm {e} ^ {i \ theta} [/ math] luego toma el poder de 5. Pero, lo resolveré usando la expansión binomial
[matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ left (\ matrix {n \\ k} \ right) x ^ ky ^ {nk} [/ math]
entonces tenemos
- ¿Existe alguna función, por ejemplo f (x), de modo que los valores de [math] f (x) [/ math] y [math] f ‘(x) [/ math] sean siempre idénticos entre sí?
- ¿Cómo resolverías [matemáticas] x ^ 4 = x ^ 2 + 9 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el valor de [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n ^ {n + 1} e} {(n + 1) ^ n} -n [/ math]?
- Cómo resolver -ln (i-1) = -ln (sqrt (2)) – i3pi / 4
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de [matemáticas] i [/ matemáticas]?
[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ 5} (\ sqrt {3} + i) ^ 5 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ 5} (\ sqrt {3} + i) ^ 5 = \ frac {1} {2 ^ 5} \ sum_ {k = 0} ^ 5 \ left (\ matrix { 5 \\ k} \ right) i ^ {k} (\ sqrt {3}) ^ {5-k} [/ math]
ya sabemos que los poderes extraños de k conducen a términos imaginarios, mientras que incluso conducen a términos reales (que para poderes tan bajos no es importante aquí)
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ 5i ^ {k} (\ sqrt {3}) ^ {nk} = \ left [\ left (\ matrix {5 \\ 0} \ right) (\ sqrt {3 }) ^ {5} + \ left (\ matrix {5 \\ 2} \ right) i ^ 2 (\ sqrt {3}) ^ {3} + \ left (\ matrix {5 \\ 4} \ right) i ^ 4 (\ sqrt {3}) ^ {1} \ right] + \ left [\ left (\ matrix {5 \\ 1} \ right) i (\ sqrt {3}) ^ {4} + \ left (\ matrix {5 \\ 3} \ right) i ^ 3 (\ sqrt {3}) ^ {2} + \ left (\ matrix {5 \\ 5} \ right) i ^ 5 (\ sqrt {3} ) ^ {0} \ right] i [/ math]
o simplemente
[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ 5} (\ sqrt {3} + i) ^ 5 = \ frac {1} {2 ^ 5} \ left (-16 \ sqrt {3} + 16i \ right) = \ frac {1} {2} \ left (- \ sqrt {3} + i \ right) [/ math]
Para las risas, vamos al otro lado
[matemáticas] \ frac {\ sqrt {3}} {2} – \ frac {1} {2} i = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) + i \ sin \ left ( – \ frac {\ pi} {6} \ right) = \ mathrm {e} ^ {i \ frac {\ pi} {6}} [/ math]
entonces tomamos los poderes (usando la fórmula de Euler [1])
[matemáticas] (- \ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {1} {2} i) ^ 5 = (- 1) ^ 5 \ left (\ mathrm {e} ^ {- i \ frac {\ pi} {6}} \ right) ^ 5 = -1 \ mathrm {e} ^ {- i5 \ pi / 6} [/ math]
[matemáticas] o [/ matemáticas]
[matemática] -1 \ mathrm {e} ^ {i5 \ pi / 6} = – (\ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) -i \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) = – \ cos \ left (\ pi- \ frac {\ pi} {6} \ right) + i \ sin \ left (\ pi- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ math]
que puedes reducir fácilmente
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ izquierda (- \ sqrt {3} + i \ derecha) [/ matemáticas]
como antes.
Notas al pie
[1] Fórmula de Euler – Wikipedia