Un triángulo formado por el eje x, el eje y y la línea y = ax + b. Si a = -b, ¿cuál es el volumen del cono generado al girar el triángulo alrededor del eje y?

Answer 1

Para su propio beneficio, dibuje el triángulo en ejes de coordenadas. Esto lo ayudará a ver los límites de integración, que serán necesarios para la integración. El dibujo mostrará claramente que los límites son de 0 a 1.

Con a = -b en la ecuación de la línea, se convierte en:

y = -bx + b

y cuando y = 0, x = 1 y en x = 0, y = b. La pendiente de la línea es -b. Esto se conoce fácilmente a partir de la ecuación general de una línea, y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección del eje y. Como puede saber, una pendiente negativa significa que m es negativa y la línea se inclinará desde un punto alto a la izquierda a un punto más bajo a la derecha.

Si gira el triángulo, el volumen V = pi multiplicado por la integral de y ^ 2 dx:

y ^ 2 = (-bx + b) ^ 2 = b ^ 2 (x ^ 2 – 2x + 1), por lo tanto,

pi.b ^ 2 ∫ (x ^ 2 – 2x + 1) dx = pi.b ^ 2 [x ^ 3/3 – x ^ 2 + x]

El límite inferior es cero y con x apareciendo en cada término significa que la función será cero. Al conectar el límite superior x = 1, obtenemos:

V = pi.b ^ 2 [1/3 – 1 + 1] – [0] = (pi.b ^ 2) / 3

Esto, por supuesto, coincide con la fórmula para el volumen de un cono, que es:

1/3 (área de base) x altura. Es un cono, por lo que la base es circular y el área es pi.b ^ 2. La altura es 1.

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} y & = ax + b \\ & \ text {When} y = 0 \ implica x = – \ dfrac ba \\\ hline V & = \ pi \ int_0 ^ {- \ frac ba} ( ax + b) ^ 2 \, \ mathrm dx \\ & = \ dfrac \ pi {3a} (ax + b) ^ 3 \ bigg | _0 ^ {- \ frac ba} \\ & = – \ dfrac {\ pi b ^ 3} {3a} \\ & = – \ dfrac {\ pi b ^ 3} {- b} \\ & = \ pi b ^ 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

La pregunta se resuelve en la imagen a continuación:

Si no puede entender, no dude en comentar.

Answer 4

y = ax + b. pero a = -b → y = -bx + b

si x = 0 → y = b …… la intersección x es b

si y = 0 → x = 1 …… yintercept = 1

∴volumen del cono = (1/3) πrh² = (1 / 3π) (b²) (1) = (1/3) πb²