El borde A de un cubo aumenta a un ritmo proporcional al área de la superficie del cubo. En t = 0, A = 1 y en t = 2, A = 2. ¿Qué es A en t = 3?

Answer 1

Tienes la idea correcta, pero hay un pequeño defecto en tu razonamiento. Tienes razon que

[matemáticas] \ frac {dA} {dt} = k (6A ^ 2) [/ matemáticas]

Sin embargo, A también es una variable. No puede simplemente integrar ambos lados con respecto a t, porque [matemáticas] ∫A dt ≠ En [/ matemáticas] ya que A depende de t. Aquí hay un ejemplo para ilustrar esto:

[matemáticas] A = 9t. ∫A dt = ∫9t dt = \ frac {9} {2} t ^ 2 [/ math] que no es igual a 9t * t.

En cambio, hacemos esto:

[matemáticas] \ frac {dA} {dt} = k (6A ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dA} {A ^ 2} = 6k * dt [/ matemáticas]

Integrar ambos lados:

[matemáticas] \ frac {-1} {A} = 6kt + C [/ matemáticas]

Ahora conectemos los valores:

[matemáticas] \ frac {-1} {1} = 0 + C; C = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-1} {2} = 12k-1; k = \ frac {1} {24} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-1} {A} = \ frac {3} {4} -1; A = 4 [/ matemáticas]

Entonces su respuesta es [matemáticas] A = 4 [/ matemáticas]

Answer 2

Debe aclarar la dependencia de A en t. A (t) satisface A (0) = 1, A (2) = 2 y A ‘(t) = 6kA (t) ^ 2. Entonces, la solución es de la forma 1 / (D-6kt) donde la sustitución de t = 0 proporciona D = 1, y la sustitución de t = 2 proporciona 2 = 1 / (1–12k), entonces k = 1/24. En total, está obteniendo A (t) = 1 / (1 – t / 4) = 4 / (4-t). Entonces en t = 3 obtienes A (t) = 4.