Cómo resolver para encontrar x si [matemáticas] x ^ x = 27 [/ matemáticas]

Answer 1

Una solución obvia es [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]. ¿Pero hay otros?

Tenga en cuenta que, si [matemática] x> y \ geq 1 [/ matemática], entonces [matemática] x ^ x> y ^ y [/ matemática]. Por lo tanto, la función [matemática] f (x) = x ^ x [/ matemática] está aumentando estrictamente para [matemática] x> 1 [/ matemática], por lo que [matemática] x ^ x = 27 [/ matemática] como máximo de un punto en este intervalo. Y tal punto existe, es decir, en [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

Si [matemática] 0 <x <1 [/ matemática], entonces [matemática] x ^ x <1 ^ x = 1 [/ matemática], entonces [matemática] x ^ x \ neq 27 [/ matemática] en todas partes en este intervalo .

Si [matemática] -1 <x <0 [/ matemática], entonces (la rama principal de) [matemática] x ^ x [/ matemática] esencialmente está tomando la raíz de un número negativo, que no produce un número real.

Si [math] x \ leq -1 [/ math] y [math] x ^ x [/ math] es real, entonces [math] | x ^ x | = || x | ^ x | = | 1 / | x | ^ {| x |} | [/ math]. Desde [matemáticas] | x | > 1 [/ math], esta expresión es menor que 1, por lo que este intervalo no tiene soluciones.

Por lo tanto, la única solución para [matemáticas] x ^ x = 27 [/ matemáticas] es [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas].

Answer 2

En este caso, la respuesta es “obviamente” x = 3. Pero en general, la respuesta a un problema como este no será obvia, y un proceso de “prueba y error” numérico suele ser muy rápido y práctico con ajustes de “dividir la diferencia” en los valores de prueba que se realizan a medida que avanza.

Answer 3

Es probable que mi respuesta sea mucho menos completa que otras personas que tienen el tiempo para darle una explicación completa, pero puedo comenzar dándole la idea general para resolver ecuaciones de la forma x ^ x = y.

Por lo que entiendo, no hay forma analítica de resolver estos problemas. Para el caso de x ^ x = 27, casi cualquier persona puede ver fácilmente que la solución es x = 3. Sin embargo, para casos menos obvios, como x ^ x = 5, uno debe resolver el problema numéricamente.

Tome 2 ^ 2 = 4 y 3 ^ 3 = 27, luego vemos que nuestra solución para x ^ x = 5 está entre 2 y 3. Este proceso, conocido como el método de Newton, es una técnica común en el análisis numérico y si continúa puede proporcionar una aproximación muy cercana para el valor de x.

No conozco una forma analítica de resolver x ^ x = y.

Answer 4

Fácil.

Obviamente la respuesta es 3, pero déjame desglosarlo por ti.

X ^ X = 27

Log (x ^ x) = log 27

X log X = 3 log 3. (Como 3 ^ 3 = 27)

Comparando las ecuaciones obtienes x = 3

Answer 5

x ^ x = 27 = 3 ^ 3

Entonces es obvio que la solución de x es 3, es decir, x = 3. (RHS se expresa como la potencia igual de la base como se expresa en LHS)

Answer 6

x = 3.

Método 1 = Prueba y error. Como es un número bastante pequeño, con un poco de prueba y error y cálculos mentales, obtienes la respuesta en 5 a 10 segundos

Método 2: usa logaritmos.

x ^ x = 27

Tomando registro en ambos lados,

logx ^ x = log27

logx ^ x = log3 ^ 3

Ie x = 3

Answer 7

Sucede que 3 a la 3ª potencia = 27. El hecho de que los dígitos en 27, 2 y 7 suman 9, que es un múltiplo de 3, que debería haber sido su primera (y única) pista … )

Answer 8

/ Y es 3. dado que el cubo de 3 es 27.

Answer 9

Ambos valores de x serán iguales.

Y 27 es 3³ … Eso necesita presencia mental para relacionarse con la pregunta … Se resbala la mayor parte del tiempo.

Answer 10

Busca soluciones enteras.

Conecte para x = 1 a 5 y obtenga:

1, 4, 27, 64, 3025.

Si no son soluciones enteras, tendrá que usar un gráfico para encontrarlo.

Answer 11

3 ^ 3 = 27, por lo tanto x = 3.

Answer 12

Aplicar registro natural a ambos lados de la ecuación

LnX ^ x = Ln27

Usar la propiedad de poder de los registros en el registro izquierdo

XLnX = Ln27

Reescribe 27 como 3³

XLnX = Ln3³

Usar la propiedad de poder de los registros en el registro derecho

XLnX = 3Ln3

Por lo tanto, X = 3