No es del todo cierto, como dice el otro póster, que los números complejos se desarrollaron axiomáticamente. Tampoco un desarrollo axiomático, en sí mismo, habría justificado la suposición de que había algo que pudiera ajustarse al proyecto de ley. La historia de los “números” y lo que “son” no es sencilla, y la creación original de los números complejos estuvo al otro lado de algunas revisiones conceptuales importantes. No hacían álgebra axiomática en esos días.
El error es pensar que ya debe tener un número, de alguna manera, que muestre las propiedades extrañas de [math] i [/ math]. A partir de los números reales, no hay uno. Tampoco es la tarea de salir, como los zoólogos a la jungla, en busca de nuevos animales divertidos con ciclos de vida inesperados. La tarea es decidir qué necesita que hagan sus “nuevos números” y decidir exactamente qué comportamiento imponerles en consecuencia. No son tus números reales existentes; son nuevos; lo que significa agregarlos y multiplicarlos depende de las reglas que hagamos que sigan.
Por supuesto, esto no significa que absolutamente “todo vale”. El punto era resolver un problema real, no inventar nuevos números y ver qué hacían. Los fundamentos se establecieron en los primeros trabajos para resolver ecuaciones cúbicas (en este punto, con solo coeficientes reales). A diferencia de las ecuaciones cuadráticas, donde había dos factores lineales o un término cuadrático irreducible, siempre había un factor lineal de número real, y el término cuadrático restante podía o no tener factores lineales. Intentar soluciones generales arrojó naturalmente factores lineales formales en todos los casos, aunque no estaba claro cómo interpretarlos si no eran “reales”.
La idea de que las soluciones no reales no eran simplemente manipulaciones formales, sino que representaban * números * se cristalizaron algo confusamente. Los términos “real” e “imaginario” (que confunden a los estudiantes generación tras generación) corresponden a este período inicial en el que no estaba claro qué tipo de posición tenían estos nuevos widgets. Con el tiempo, dejó de parecer controvertido llamarlos “números”. En este punto, se entendió (para usar una terminología desesperadamente anacrónica) que los números complejos eran una extensión de campo de los números reales, aunque a nadie se le ocurrió considerar (por ejemplo) polinomios con coeficientes complejos generales.
Hubo mucha exploración de “succionar y ver” de números complejos en ese momento; se descubrió que las cosas funcionaban, y se construyó una imagen de su comportamiento, de manera poco sistemática, un teorema a la vez, como se les ocurrió a los escritores que esta, esa u otra relación que “parecía obvia” podría tener que ver con probarse con generalidad.
Así no se configuran los números complejos hoy en día. Ya no dudamos en inventar “nuevos números”; La idea de decirle a los “nuevos números” qué hacer ya no parece extraña. Parte de la razón de esto es que las manipulaciones formales ya no parecen una base inadecuada para definirlas. De hecho, preocuparse por si algo “es un número” se ha desvanecido en el pasado. La posibilidad de participar en manipulaciones formales ya no parece una propiedad de “números”, con extensiones difusas de estado incierto a “otras cosas”. Más bien, de eso se trata el álgebra en sí mismo, y los “números” (o, más precisamente, sistemas de números) son solo un subconjunto definido de forma difusa de objetos algebraicos generales, donde llamar a algo un “número” es una cuestión de historia y gusto. .
Podemos acercarnos a los números complejos de manera “constructiva” a partir de los números reales, con un ojo en los resultados importantes ya conocidos, estoy seguro de que hay más de una forma de hacerlo, pero hay razones poderosas para configurar los números complejos como espacio vectorial sobre los reales, y para configurar pares ordenados explícitos [math] (a, b) [/ math] que pueden verse como componentes con respecto a la base [math] {1, i} [/ math]. Todavía necesitamos construir productos generales de números complejos; Se trata de definir la multiplicación de la manera habitual y observar que la restricción de esto a números complejos cuyo segundo componente es 0 coincide con la multiplicación ordinaria de números reales. Hay un poco más por hacer, pero todo es una confirmación de rutina de que todas las reglas algebraicas familiares para los números reales aún funcionan, aparte de las relaciones de orden; los números reales son un campo ordenado y los números complejos no lo son.
En cierto modo, la rapidez de la mano engaña al cerebro. Literalmente, todo lo interesante en este proceso se reduce a definir cómo multiplicamos números complejos; y esto depende totalmente de nosotros decir cómo hacerlo. No es que esos pares ordenados “realmente” se comporten así, o “realmente” se comporten de otra manera. La única “realidad” son las reglas que hacemos que sigan. Observe lo extraño que parece preguntar “¿es [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] con la siguiente operación llamada” multiplicación “ un conjunto de” números “? Y en respuesta a preguntas como “¿qué es realmente [matemáticas] 3i [/ matemáticas]”, la respuesta es “[matemáticas] (0, 3) \ en \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas] con la siguiente operación … “. Hay definiciones equivalentes alternativas; de hecho, estrictamente hablando, esto ya es una familia de definiciones equivalentes, dependiendo de qué versión de [math] \ mathbb {R} [/ math] esté usando. “Los” números complejos se definen hasta el isomorfismo; pero eso es todo lo que necesitamos, y en todos los aspectos interesantes, todo lo que podemos decir.
