¿Cómo encontrar todos los pares ordenados integrales para [matemáticas] x ^ 2 + 4y ^ 2-2xy-2x-4y-8 = 0 [/ matemáticas]? Además, cuántos pares de enteros ordenados se pueden formar

Answer 1

Deje que [math] f (x, y) [/ math] denote el polinomio en [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. Reorganizando y simplificando, obtenemos

[matemáticas] f (x, y) = \ big ((x ^ 2–2x + 1) – 2 (x-1) y + y ^ 2 \ big) + 3 \ big ((y-1) ^ 2– 4 \ grande) [/ matemáticas]

[math] = \ big ((x-1) -y \ big) ^ 2 + 3 (y + 1) (y-3) \ ldots (1) [/ math]

Por lo tanto, [math] f (x, y) = 0 [/ math] implica [math] (y + 1) (y-3) \ le 0 [/ math], de modo que [math] y \ in \ {- 1 , 0,1,2,3 \} [/ matemáticas].

De [matemática] (1) [/ matemática], suponiendo que [matemática] f (x, y) = 0 [/ matemática], si [matemática] y + 1 = 0 [/ matemática] o [matemática] y-3 = 0 [/ math], luego [math] x-1 = y [/ math]. Por lo tanto, [matemática] (x, y) = (0, -1) [/ matemática] o [matemática] (4,3) [/ matemática].

De [matemática] (1) [/ matemática], [matemática] f (x, y) = 0 [/ matemática] implica [matemática] -3 (y + 1) (y-3) [/ matemática] debe ser un plaza Por lo tanto, [matemáticas] 3 \ mid (y + 1) [/ matemáticas] o [matemáticas] 3 \ mid (y-3) [/ matemáticas]. Eso elimina [math] y = 1 [/ math] y nos deja con [math] y \ in \ {0,2 \} [/ math].

Ahora poner [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] en [matemáticas] (1) [/ matemáticas] da [matemáticas] (x-1) ^ 2–9 = 0 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 [/ matemáticas]. Y poner [matemática] y = 2 [/ matemática] en [matemática] (1) [/ matemática] da [matemática] (x-3) ^ 2–9 = 0 [/ matemática], de modo que [matemática] x = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Las soluciones integrales son

[matemáticas] (x, y) \ in \ big \ {(-2,0), (0, -1), (0,2), (4,0), (4,3), (6,2 ) \ big \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Tenemos,

[matemáticas] x ^ 2 + 4y ^ 2-2xy-2x-4y-8 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x ^ 2–2xy + y ^ 2 -2x + 2y + 3y ^ 2-6y + 3-11 = 0 [/ matemática]

[matemática] \ implica (xy) ^ 2 -2 (xy) +3 (y-1) ^ 2-11 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica (xy-1) ^ 2 + 3 (y-1) ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

Utilice la transformación [matemática] X = xy-1 [/ matemática] y [matemática] Y = y-1 [/ matemática] para tener,

[matemáticas] X ^ 2 + 3Y ^ 2 = 12 \; \; \; \; \ ldots \; \; \; \; (1) [/ matemáticas]

Las soluciones integrales de (1) son

[matemáticas] (0, \ pm2), (\ pm3, \ pm1). [/ matemáticas]

En consecuencia, las soluciones de la ecuación original son

[matemáticas] (4, [/ matemáticas] [matemáticas] 3), (0, -1), (6,2), (4,0), (0,2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (- 2,0) [/ matemáticas].

Answer 3

Escríbelo como un cuadrático en [matemáticas] y [/ matemáticas]. Después de simplificar, [math] y = \ frac {x + 2 \ pm \ sqrt {-3 (x + 2) (x-6)}} {4} [/ math]. Debido a que el discriminante no es negativo, [matemática] -2 \ leq x \ leq 6 [/ matemática]. Intentando cada valor, solo [matemática] x = -2, 0, 6 [/ matemática] mantiene y racional. Resolviendo, [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] tiene soluciones [matemáticas] (- 2, 0), (0, -1), (0, 2), (6, 2). [/ Matemáticas]