Cómo pasar de [matemáticas] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = n [/ matemáticas] a [matemáticas] x + y = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Multiplica ambos lados de ( 1 ):

[matemáticas] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = n \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

por:

[matemáticas] (x- \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y- \ sqrt {y ^ 2 + n}) \ tag {2} [/ matemáticas]

para obtener:

[matemáticas] n = (x- \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y- \ sqrt {y ^ 2 + n}) \ tag {3} [/ matemáticas]

Pero [math] n [/ math] en ( 1 ) y [math] n [/ math] en ( 3 ) son uno y lo mismo. Por lo tanto:

[matemáticas] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = (x- \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y- \ sqrt {y ^ 2 + n}) \ tag {4} [/ math]

Multiplique ambos lados de ( 4 ), cancele los términos similares para obtener:

[matemáticas] x \ sqrt {y ^ 2 + n} + y \ sqrt {x ^ 2 + n} = 0 \ tag {5} [/ matemáticas]

De donde:

[matemáticas] x \ sqrt {y ^ 2 + n} = – y \ sqrt {x ^ 2 + n} \ tag {6} [/ matemáticas]

Cuadra ambos lados de ( 6 ) para obtener:

[matemáticas] \ pm x = \ pm y \ etiqueta {7} [/ matemáticas]

Encuentre la combinación correcta de los signos en ( 7 ) probándolo contra ( 5 ):

[matemáticas] x = -y \ etiqueta {8} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] x + y = 0 \ etiqueta {9} [/ matemáticas]

Answer 2

• Primero :

Si [math] x + y = 0 [/ math] siempre será una solución para [math] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = n [/ matemáticas]

Permite enchufar x [math] = – y [/ math]

[matemáticas] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = (- y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = -y ^ 2 + y ^ 2 + n = n [/ matemáticas]

• Segundo:

Veamos si hay alguna otra solución.

Deje [math] p = x + \ sqrt {x ^ 2 + n} [/ math]

[matemáticas] q = y + \ sqrt {y ^ 2 + n} [/ matemáticas]

[matemáticas] pq = n [/ matemáticas]

[matemáticas] p = x + \ sqrt {x ^ 2 + pq} [/ matemáticas]

[matemáticas] p – x = \ sqrt {x ^ 2 + pq} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 -2px + x ^ 2 = x ^ 2 + pq [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {pq} {2} [/ matemáticas]

Puede hacer lo mismo con [math] y [/ math] y obtener:

[matemáticas] y = \ dfrac {qp} {2} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto x + y = \ dfrac {pq} {2} + \ dfrac {qp} {2} = 0 [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] x + y = 0 [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] (x + \ sqrt {x ^ 2 + n}) (y + \ sqrt {y ^ 2 + n}) = n [/ matemáticas ]

Answer 3

Me gustaría agregar a las respuestas que si no hay restricciones en [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas], entonces esa afirmación no es cierta.

Considere [matemáticas] x = n = 0, y [/ matemáticas] es un número positivo arbitrario.

Por sustitución tenemos que el lado izquierdo es igual a [math] 0 \ cdot (y + | y ​​|) = 0 [/ math]

y el lado derecho también es igual a cero. Pero [matemáticas] x + y = 0 + y \ neq 0 [/ matemáticas], por lo que toda la declaración no es verdadera.