¿Cómo encontrar el último dígito de [math] (n ^ {9999} -n ^ {5555}) [/ math], si [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]?

Answer 1

En primer lugar, esto es solo [matemática] m ^ 9 – m ^ 5 [/ matemática], donde [matemática] m = n ^ {1111} [/ matemática]. (El hecho de que ambos exponentes tengan este gran factor común no es realmente importante para abordar versiones más generales de este problema, pero hace que las cosas sean un poco más convenientes). Esto, a su vez, es [matemática] m ^ 4 (m ^ 5 – m) [/ matemática].

Según el pequeño teorema de Fermat, [matemática] m ^ 5 – m [/ matemática] siempre es divisible por [matemática] 5 [/ matemática] (también puede ver esto probando los diversos restos posibles para [matemática] m [/ matemática] módulo [matemática] 5 [/ matemática]). Además, si [matemática] m [/ matemática] es par o impar, [matemática] m ^ 5 – m [/ matemática] es par (esto también puede verse como una consecuencia del Pequeño Teorema de Fermat).

Un número par divisible por 5 es de hecho divisible por 10. Por lo tanto, [matemática] m ^ 5 – m [/ matemática] es divisible por 10, y también lo es el valor que nos interesa, y así sabemos el último dígito para ser 0.

Answer 2

LD≡ÚLTIMO DÍGITO DE

LD (n ^ 5) = LD (n ^ 1), n ​​= 0,1,2,3 …… 9

1 ^ 5 = 1, 2 ^ 5 = 32, 3 ^ 5 = 243, 4 ^ 5 = 1024,5 ^ 5 = 3125,…

LD (n ^ (4k + r) = LD (n ^ r), k, r∈N

Observamos que desde:

LD (n ^ (4 * 1111 + 5555) = LD (n ^ 5555) por “inducción” de:

(i) 【LD {n ^ (4 * 1 + 1)} = LD (n ^ 1) → LD (n ^ 5) = LD (n)】

【LD {n ^ (4 * 2 + 1)} = LD (n ^ 1) → LD (n ^ 9) = LD (n)】

…………………………………

【LD {n ^ (4 * 1 + 2)} = LD (n ^ 2) → LD (n ^ 6) = LD (n²)】

【LD {n ^ (4 * 2 + 2)} = LD (n ^ 2) → LD (n ^ 10) = LD (n²)】

………………………… y así sucesivamente ………

∴ LD (n ^ 9999) = LD (n ^ 5555) →

LD {n ^ 9999-n ^ 5555} = LD (n ^ 9999) -LD (n ^ 5555) = 0

Answer 3

Recuerde que el último dígito de un número es equivalente a su valor mod 10.

Tenga en cuenta que, en el mod 10,

[matemáticas] 0 ^ 5 = 0 \ equiv 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 5 = 1 \ equiv 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 5 = 32 \ equiv 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] … [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 ^ 5 = 59049 \ equiv 9 [/ matemáticas]

Además, si [math] a, b [/ math] son ​​enteros con [math] 0 \ leq b \ leq 9, [/ math]

[matemáticas] (10a + b) ^ 5 = 100000a ^ 5 + 50000a ^ 4b + 10000a ^ 3b ^ 2 + 1000a ^ 2b ^ 3 + 50ab ^ 4 + b ^ 5 \ equiv b ^ 5 \ equiv b. [/ math ]

Por lo tanto, [matemática] n ^ 5 \ equiv n [/ matemática] para todos los enteros [matemática] n. [/ Matemática] Entonces [matemática] n ^ 9 \ equiv n ^ 5 \ equiv n, [/ matemática] o en general , [matemáticas] n ^ {4k + 1} \ equiv n. [/ matemáticas]

Sabiendo esto, la expresión dada simplifica:

[matemáticas] n ^ {9999} – n ^ {5555} = n ^ {9997} n ^ 2 + n ^ {5553} n ^ 2 \ equiv n ^ 3 – n ^ 3 = 0. [/ matemáticas]

Por lo tanto, el último dígito de [math] n ^ {9999} – n ^ {5555} [/ math] es [math] 0 [/ math] para todos los enteros [math] n. [/ Math]

( Nota: la solución se ha editado porque me di cuenta de que había una forma más sencilla de resolver el problema).

Answer 4

Entonces, básicamente necesitas tomar esta diferencia mod 10, por lo que en realidad solo nos importa el último dígito de n. ¿Y sabes lo que es genial? Tome n ^ 5 para cualquier número entero de 0 a 9. El último dígito de n ^ 5 será n. Adelante, compruébalo por ti mismo. Esperaré. Eso significa que lo mismo será cierto para n ^ 9, n ^ 13, etc. ¿Entonces sabes qué? Solo voy a preocuparme por estos exponentes mod 4. Veamos … ¡9,999 (mod 4) es 3, y 5,555 (mod 4) también es 3! Entonces esto se reduce a n ^ 3 – n ^ 3, que va a ser 0 según mis matemáticas. Supongo que eso significa que el último dígito de tu número será cero.

(Nota: si desea una razón más técnica por la que esto funciona, querrá buscar cosas como la función totient de Euler y el teorema del resto chino. Simplemente tengo ganas de dar una respuesta más relajada).

Answer 5

0 .

Toma cualquier número natural y elevalo a poderes consecutivos. Notará que el último dígito se repite con el período 4.

9999 y 5555, cuando se dividen entre cuatro, dan el mismo resto, que es 3.

Por lo tanto, n ^ 9999 y n ^ 5555 tienen el mismo último dígito.

Answer 6