Cómo integrar [matemáticas] e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas]

Answer 1

Su procedimiento debe incluir una sustitución en U de [math] \ ln {x} [/ math], de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle u = \ ln {x}; \, \, \ mathrm {d} u = \ frac {\ mathrm {d} x} {x} \ Longleftrightarrow x \, \ mathrm {d} u = \ matemática {d} x [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto I = \ int xe ^ u \, \ mathrm {d} u [/ math]

No podemos integrarnos con [math] x [/ math] allí, pero sabemos que [math] u = \ ln {x} \ Longleftrightarrow x = e ^ u [/ math]. Sustituyendo esto en da

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int e ^ {2u} \, \ mathrm {d} u [/ math]

Así,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {1} {2} e ^ {2u} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {1} {2} e ^ {2 \ ln {x}} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {1} {2} e ^ {\ ln {x ^ 2}} + C [/ matemáticas]

O, por supuesto, [matemáticas] \ displaystyle [/ matemáticas] [matemáticas] I = \ frac {x ^ 2} {2} + C [/ matemáticas].

Answer 2

Tenías la respuesta en la primera línea. Entonces

“… Sin embargo, [matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ {f (x)} = {f} ‘(x) e ^ {f (x)}” [/ matemáticas]

En efecto.

“Así que pensé que esto implica que [matemáticas] \ int e ^ {f (x)} = \ frac {1} {f ‘(x)} e ^ {f (x)}” [/ matemáticas]

Este paso no es correcto. No estoy seguro de dónde sacaste 1 sobre nada. ¿Parece confundir integración con diferenciación?

Lo que podemos decir es: Sea [math] y = f (x) [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = f ‘(x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {f ‘(x)} [/ matemáticas] (¡Solo formalmente!)

[matemáticas] dx = \ frac {dy} {f ‘(f ^ {- 1} (y))} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] \ int e ^ {f (x)} dx = \ int \ frac {e ^ y dy} {f ‘(f ^ {- 1} (y))} [/ matemáticas]

Esto se ve desordenado; pero dependiendo de qué [matemática] f [/ matemática] sea, puede tener mucha suerte y esto podría simplificarse a un problema más fácil.

Answer 3

Lo que mucha gente se equivoca acerca de las integrales es que la integral de digamos 2x no es [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] x ^ 2 + c [/ matemáticas] donde [matemáticas] c [/ matemáticas ] es una constante compleja.

La función que obtuvo es probablemente un poco diferente a la [math] \ dfrac {x ^ 2} {2} [/ math].

Y para responder la pregunta, [math] e ^ {ln (x)} [/ math] es x, entonces la integral es [math] \ dfrac {x ^ 2} {2} + c [/ math] donde c es una constante.

Editar: Me acabo de dar cuenta de que te equivocaste, no puedes simplemente tomar la inversa de esa manera. Tomó la derivada de la función, por lo que básicamente obtuvo la segunda derivada de la integral.

Answer 4

Mira, te diré dónde estás cometiendo un error.

“Sin embargo, [matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ {f (x)} = e ^ {f (x)} f ‘(x) [/ matemáticas], así que pensé que esto implica que [matemáticas ] \ int e ^ {f (x)} = \ frac {1} {f ‘(x)} e ^ {f (x)} [/ math] .. ”

Te estás equivocando por aquí. Si,

[matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ {f (x)} = e ^ {f (x)} f ‘(x) [/ matemáticas] luego, integrando en ambos lados,

[matemática] \ int \ frac {d} {dx} e ^ {f (x)} = \ int e ^ {f (x)} f ‘(x) [/ math] que lo hace

[matemáticas] e ^ {f (x)} = \ int e ^ {f (x)} f ‘(x) [/ matemáticas].

¡Ahora no puedes simplemente sacar [math] f ‘(x) [/ math] de la integral y llevarlo al otro lado !!!! ¡No es una constante!

Espero que entiendas mi punto.

Answer 5

Regla del producto:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} u (x) v (x) = u ‘(x) v (x) + u (x) v’ (x) [/ matemáticas]

Integración por partes.

[matemáticas] u (x) v (x) – u ‘(x) v (x) = \ int u (x) v’ (x) dx [/ matemáticas]

En este ejemplo

[matemáticas] u (x) = e ^ {f (x)}, v (x) = x \\ \ int u (x) v ‘(x) dx = xe ^ {f (x)} – \ int x f ‘(x) e ^ {f (x)} dx \\ f’ (x) = \ frac 1x \\\ int e ^ {f (x)} dx = xe ^ {f (x)} – \ int e ^ {f (x)} dx \\ 2 \ int e ^ {f (x)} dx = xe ^ {f (x)} + C \\\ int e ^ {f (x)} dx = \ frac 12 xe ^ {f (x)} + C [/ matemáticas]

y [matemáticas] e ^ {\ ln x} = x [/ matemáticas] dándonos

[matemáticas] \ int x dx = \ int e ^ {\ ln x} dx = \ frac 12 xe ^ {\ ln x} + C = \ frac 12 x ^ 2 + C [/ matemáticas]

como se desee.

Answer 6

La respuesta general a su pregunta ya la han proporcionado otros usuarios, pero aquí hay un consejo que puede ayudarlo a evitar que tropiece de la misma manera en el futuro:
No piense en la integración tanto como realizar la operación opuesta de la derivada en una función, sino deshacer una operación previa realizada (esa operación es la derivada).

Answer 7

let [matemáticas] e ^ {\ ln x} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln a = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] a = x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ ln x} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int x \, dx = \ frac {x ^ 2} {2} [/ matemáticas]

Answer 8

[matemáticas] e ^ {ln (x)} -> x [/ matemáticas]

Con la leve advertencia de que no se puede evaluar en ninguna ‘x’ no positiva. Es un giro estrictamente positivo en el concepto clásico de la función de identidad.

Answer 9

En primer lugar, debe conocer una de las fórmulas que consisten en exponencial y logaritmo.

Cualquier constante, con el poder del logaritmo con la base como la misma constante, es igual a la variable o la no variable de la cual se debe encontrar el logaritmo.

Por lo tanto, en este caso e ^ lnx = x. Ahora la integración de “x” es muy fácil. Es x ^ 2/2.

Answer 10

Integral de e ^ ln (x) = integral de x = x ^ 2/2 + c