Deje que [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] sean números reales positivos tales que [matemática] a + b + c = 1 [/ matemática]. ¿Cómo mostrarías que [matemáticas] a ^ ab ^ bc ^ c + a ^ bb ^ cc ^ a + a ^ cb ^ ac ^ b \ leq {1} [/ matemáticas]?

Answer 1

Como demostró Siddhartha Ganguly, el truco es usar AM-GM ponderado .

Usemos [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] como pesos. Tenemos, por AM-GM

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ left (a ^ ab ^ bc ^ c \ right) ^ {\ frac {1} {a + b + c}} \ leq {\ frac {a \ cdot {a} + b \ cdot {b} + c \ cdot {c}} {a + b + c}} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2} {a + b + c} \ end {alinear } \ tag {1} [/ math]

Igualmente

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ left (a ^ bb ^ cc ^ a \ right) ^ {\ frac {1} {a + b + c}} \ leq {\ frac {a \ cdot {b} + b \ cdot {c} + c \ cdot {a}} {a + b + c}} \ end {align} \ tag {2} [/ math]

y

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ left (a ^ cb ^ ac ^ b \ right) ^ {\ frac {1} {a + b + c}} \ leq {\ frac {a \ cdot {c} + b \ cdot {a} + c \ cdot {b}} {a + b + c}} \ end {align} \ tag {3} [/ math]

Ahora solo suma los lados correspondientes de [matemáticas] (1) [/ matemáticas], [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] (3) [/ matemáticas], empleando el hecho de que [matemáticas] a + b + c = 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ begin {align} \\\ displaystyle a ^ ab ^ bc ^ c + a ^ bb ^ cc ^ a + a ^ cb ^ ac ^ b \ leq {\ frac {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc} {a + b + c}} = \ frac {(a + b + c) ^ 2} {a + b + c} = a + b + c = 1 \ blacksquare \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 2

dejemos que haya algunos números no negativos, es decir, [matemáticas] x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n} [/ matemáticas] y los pesos asociados con ellos son [matemáticas] w_ {1}, w_ {2 }, \ cdots w_ {n} [/ math], ahora configure [math] w = w_ {1} + w_ {2} + w_ {3} + \ cdots + w_ {n} [/ math], con [math ] w> 0 [/ math] el AM-GM será ..

[matemáticas] \ dfrac {w_ {1} x_1 + w_2 x_2 + \ cdots + w_n x_n} {w} \ ge \ sqrt [w] {x ^ {w_1} _1x ^ {w_2} _2 \ cdots x ^ {w_n} _ {n}} \ tag * {} [/ math]

aquí [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​los pesos, por lo que simplemente podemos escribir

[matemáticas] \ begin {align} a ^ ab ^ bc ^ c + a ^ bb ^ cc ^ a + a ^ cb ^ ac ^ b & \ le (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) +2 ( ab + bc + ca) \\ & \ le (a + b + c) ^ 2 \\ & \ le 1 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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