En primer lugar, no hay singularidad en [math] z = 0 [/ math], por lo que debemos encontrar la expansión habitual. Para encontrar la secuencia [matemática] (a_n) _ {n = 0} ^ {\ infty} [/ matemática] de coeficientes, necesitamos evaluar cada derivada en [matemática] z = 0 [/ matemática].
Si está familiarizado con la regla de Leibniz, podemos evaluar [matemática] n [/ matemática] -ésima derivada para [matemática] f (z) = e ^ z \ cos z [/ matemática] de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle f ^ {(n)} (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ elegir k} e ^ z \ frac {d ^ k} {dx ^ k} \ frac {1} {\ cos z} [/ math]
El peor problema es con la evaluación [matemática] \ frac {d ^ k} {dx ^ k} \ frac {1} {\ cos z} [/ matemática] expresión. Necesitamos describir la forma general: calcular las primeras derivadas debería revelar cómo “funciona”. Por supuesto, podemos confiar en la fórmula de Faà di Bruno, pero no es tan fácil. No debemos esperar una expresión cerrada para el problema. Vamos a empezar.
- Si [matemática] a (2- \ sqrt 3) = b (2+ \ sqrt 3) = 1 [/ matemática] entonces ¿cuál es el valor de [matemática] a ^ 2-b ^ 2 [/ matemática]?
- Si a ^ x = b ^ y = c ^ z = k y 1 / x + 1 / y = 1 / z. ¿Cuál es la relación de a, byc?
- Si [matemática] x [/ matemática] no es divisible por [matemática] 5 [/ matemática], ¿por qué es que [matemática] x ^ {2} + 1 [/ matemática] o [matemática] x ^ {2 } – 1 [/ math] es divisible por [math] 5 [/ math]?
- ¿Cuál es la diferenciación de tan x?
- ¿Qué significan las etiquetas A, B, C y D en Codeforces?
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dz} \ frac {1} {\ cos z} = \ frac {\ sin z} {\ cos ^ 2 z} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2} {dz ^ 2} \ frac {1} {\ cos z} = \ frac {\ cos ^ 3z + 2 \ sin ^ 2 z \ cos z} {\ cos ^ 4 z} = \ frac {\ cos ^ 2z + 2 \ sin ^ 2 z} {\ cos ^ 3 z} = \ frac {1+ \ sin ^ 2z} {\ cos ^ 3 z} [/ matemáticas]
Predecimos entonces que:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ k} {dz ^ k} \ frac {1} {\ cos z} = \ frac {P_k (\ sin z)} {\ cos ^ {k + 1} z} [ /matemáticas]
donde [math] P_k (x) [/ math] es un polinomio de [math] k [/ math] -th orden. Hasta aquí todo bien. Si solo supiéramos la relación de recurrencia para [matemáticas] P_k [/ matemáticas] … Bueno, podemos, es suficiente tomar otra derivada (me he saltado algunos pasos):
[matemáticas] \ cos ^ {k + 2} \ displaystyle \ frac {d} {dz} \ frac {P_k (\ sin z)} {\ cos ^ {k + 1} z} = P (\ sin z) \ sin z + k P (\ sin z) \ sin z + \ cos ^ 2 P_k (\ sin z) = (k + 1) \ sin z P (\ sin z) + (1- \ sin ^ 2 z) P_k ‘ (\ sin z) [/ math].
Entonces tenemos nuestra relación de recurrencia deseada:
[matemática] P_ {k + 1} (x) = (k + 1) xP_k (x) + (1-x ^ 2) P_k ‘(x), \ quad P_0 (x) = 1 [/ matemática].
Solo nos interesa [math] P_k (0) [/ math] ya que [math] \ sin 0 = 0 [/ math]. Podemos notar que para impares [matemáticas] k [/ matemáticas], [matemáticas] P_k (0) = 0 [/ matemáticas]. Los primeros términos de esta secuencia son:
[matemáticas] 1,0,1,0,5,0,61,0,1385,0, \ ldots [/ matemáticas]
La derivada [matemática] k [/ matemática] de [matemática] 1 / cos z [/ matemática] en [matemática] z = 0 [/ matemática] es igual a [matemática] P_k (0) [/ matemática]. Tenemos al menos un método para encontrar los coeficientes para [matemáticas] f (z) = e ^ z / cos z [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle f (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_n z ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} P_k (0) \ frac {z ^ n} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {P_k (0 )} {k! (nk)!} z ^ n [/ math]
y, más explícitamente:
[matemáticas] \ displaystyle f (z) = 1 + z + z ^ 2 + \ frac {2} {3} z ^ 3 + \ frac {1} {2} z ^ 4 + \ frac {3} {10} z ^ 5 + \ frac {19} {60} z ^ 6 + \ ldots [/ math]
Me temo que la secuencia [matemáticas] (P_k (x)) _ {k = 0} ^ {\ infty} [/ matemáticas] no tiene una forma fácil de cerrar en términos de funciones elementales.