¡Qué pregunta tan fantástica!
Para descomponer una fracción cuyo denominador es el producto de una expresión lineal y cuadrática, primero reescribe la expresión como
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {ax ^ 2 + bx + c} {(mx + n) (px ^ 2 + qx + r)} = \ frac {C} {mx + n} + \ frac {Ax + B } {px ^ 2 + qx + r} \ tag {1} [/ math]
Entonces, con este problema, naturalmente tenemos
- Si [math] \ sin \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 [/ math] entonces cuál es el valor de [math] \ cos ^ {12} \ theta + 3 \ cos ^ {10} \ theta + 3 \ cos ^ {8} \ theta + \ cos ^ {6} \ theta (\ cos ^ {2} \ theta + 1) ^ {3} -2 [/ matemáticas]?
- Si x ^ 13 + 1 / x ^ 13 = 2, ¿cuál es el valor de x ^ 37 + 1 / x ^ 37?
- ¿Cómo encontrar el último dígito de [math] (n ^ {9999} -n ^ {5555}) [/ math], si [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]?
- Cómo integrar log [{1-x} ^ 1/2 + {1 + x} ^ 1/2] con límites de 0 a 1
- Cómo integrar [matemáticas] e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ frac {5x ^ 2 + 9x-1} {(2x + 3) (x ^ 2 + 5x + 2)} = \ frac {Ax + B} {x ^ 2 + 5x + 2} + \ frac C {2x + 3} \ end {align *} \ tag {2} [/ math]
Ahora, comenzamos a simplificar. El procedimiento estándar es establecer [matemáticas] x [/ matemáticas] con una variable tal que uno de los productos se reduzca a cero. La más obvia en este caso es [matemática] x = -3 / 2 [/ matemática] entonces [matemática] (2x + 3) (Ax + B) = 0 [/ matemática]. Sustituyendo cada valor [math] x [/ math] y simplificando da
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} 5 \ left (- \ frac 32 \ right) ^ 2 + 9 \ left (- \ frac 32 \ right) -1 & = C \ left \ {\ left (- \ frac 32 \ right) ^ 2 + 5 \ left (- \ frac 32 \ right) +2 \ right \} \\ – \ frac {13} 4 & = – \ frac {13} 4C \\ C & = 1 \ etiqueta {3} \ end {align *} [/ math]
Ahora que sabemos [matemáticas] C = 1 [/ matemáticas], lo sustituimos nuevamente en [matemáticas] (2) [/ matemáticas] y simplificamos para obtener
[matemáticas] \ displaystyle 4x ^ 2 + 4x-3 = (2x + 3) (2x-1) = (2x + 3) (Ax + B) \ tag * {} [/ matemáticas]
De lo cual se deduce inmediatamente que [matemáticas] A = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] B = -1 [/ matemáticas].
[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ frac {5x ^ 2 + 9x-1} {\ left (2x + 3 \ right) \ left (x ^ 2 + 5x + 2 \ right)} = \ frac {2x -1} {x ^ 2 + 5x + 2} + \ frac {1} {2x + 3}} \ tag * {} [/ matemáticas]
