Si [matemática] a (2- \ sqrt 3) = b (2+ \ sqrt 3) = 1 [/ matemática] entonces ¿cuál es el valor de [matemática] a ^ 2-b ^ 2 [/ matemática]?

Answer 1

¡Es bastante sencillo!

primero necesitamos definir qué son ayb:

Dado [matemáticas] a (2- \ sqrt 3) = b (2+ \ sqrt 3) = 1 [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] a (2- \ sqrt 3) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ frac {1} {(2- \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] b = \ frac {1} {2+ \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

Dado que [matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] a + b = \ frac {1} {2- \ sqrt 3)} + \ frac {1} {2+ \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b = \ frac {2+ \ sqrt 3 + 2- \ sqrt 3} {(2- \ sqrt 3) (2+ \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b = \ frac {4} {4-3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b = 4 [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] ab = \ frac {1} {2- \ sqrt 3)} – \ frac {1} {2+ \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ frac {2+ \ sqrt 3-2 + \ sqrt 3} {(2- \ sqrt 3) (2+ \ sqrt 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = \ frac {2 \ sqrt 3} {4-3} [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = 2 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) = 4 * 2 \ sqrt 3 = 8 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] a (2- \ sqrt3) = b (2+ \ sqrt3) = 1 \\\ text {Usando la primera y la última ecuación} \\\ begin {align} a (2- \ sqrt3) & = 1 \\ a & = \ dfrac1 {2- \ sqrt3} \\ a & = 2 + \ sqrt3 & \ text {(Racionalizar)} \\\ text {Usando el segundo} & \ text {y la última ecuación} \\ b (2 + \ sqrt3) & = 1 \\ b & = \ dfrac1 {2+ \ sqrt3} \\ b & = 2- \ sqrt3 & \ text {(Racionalizar)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ begin {align} a ^ 2-b ^ 2 & = (a + b) (ab) \\ & = (2+ \ sqrt3 + 2- \ sqrt3) (2+ \ sqrt3-2 + \ sqrt3) \\ & = 4 \ cdot2 \ sqrt3 \\ & = \ boxed {8 \ sqrt3} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Answer 4

a (2-√3) = b (2 + √3) = 1

a = 1 / (2 – √3) = 2 + √3

b = 1 / (2 + √3) = 2 – √3

a²-b² = (a + b) (ab) = 4 (2√3) = 8√3