Para esta ecuación diferencial, x dy / dx = x ^ 2 + y, dado que y = 0 cuando x = 1, ¿es la respuesta c = -1?

Answer 1

Dividir entre las [matemáticas] x, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x + \ dfrac {y} {x} \ tag * {} [/ matemáticas]

Deje [math] y = vx. [/ Math]

Diferenciando,

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = v + x \ dfrac {dv} {dx} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = x + \ dfrac {y} {x} \ tag * {} [/ matemáticas]

Dado que [math] y = vx \ implica \ dfrac {y} {x} = v. [/ Math]

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = x + v \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dv} {dx} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Ahora esta es una ecuación separable,

[matemáticas] \ displaystyle \ int dv = \ int dx \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] v = x + C \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Multiplicar por [matemáticas] x, [/ matemáticas]

[matemática] vx = y = x ^ 2 + Cx \ tag * {} [/ matemática]

Usando la condición dada,

[matemáticas] 0 = 1 + C \ implica C = -1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

---

Supongo que tenías razón [matemáticas] \ ddot \ smile. [/ Matemáticas]

Answer 2

Adopta el enfoque habitual

[matemáticas] x \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = x ^ 2 + y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} – \ frac {y} {x} = x [/ matemáticas]

Con esto tenemos,

Una ecuación diferencial lineal ordinaria,

Encontrar factor integrador

[matemáticas] \ mu = e ^ {\ int _ {} \ frac {-1} {x} dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu = e ^ {- lnx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu = e ^ {ln \ frac {1} {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Multiplicando esto en la ecuación diferencial lineal

tenemos

[matemáticas] \ frac {1} {x} \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} – \ frac {y} {x ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d (\ frac {y} {x})} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] {d (\ frac {y} {x})} = dx [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] \ int_ {} {d (\ frac {y} {x})} = \ int_ {} dx [/ matemáticas]

tenemos,

[matemáticas] \ frac {y} {x} = x + c [/ matemáticas]

Nuestra condición inicial viene dada por [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]

Tenemos [math] c = -1 [/ math] como lo deseamos

Reescribiendo toda la ecuación diferencial

[matemáticas] y = x ^ 2-x [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] x \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = x ^ 2 + y [/ matemáticas]

Para determinar la solución de un problema como este, debes comenzar a suponer como un matemático. Supongamos duro y supongamos a menudo.

Como supongamos que ya tenemos una solución.

Entonces, suponga que la solución es: [matemáticas] y = x ^ 2 – x. [/ Matemáticas] Tomando la derivada de [matemáticas] y [/ matemáticas]: [matemáticas] \ implica \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = 2x – 1 [/ matemáticas]

Ahora podemos sustituir nuevamente nuestra afirmación original:

[matemáticas] x \ cdot (2x – 1) = x ^ 2 + (x ^ 2 – x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] 2x ^ 2 – x = 2x ^ 2 – x [/ matemáticas] Marque.

Una verificación final confirma [matemáticas] y (1) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] y = x ^ 2 – x [/ matemáticas] Es una solución válida.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {dy} {dx} = x ^ 2 + y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {Diferenciar toda la ecuación una vez más:} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} + x \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2x + \ frac {dy} {dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = 2x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = x ^ 2 + Hacha + B [/ matemáticas]

[math] \ textrm {Sustituya esta ecuación en la original} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x (2x + A) = x ^ 2 + x ^ 2 + Ax + B [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica B = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = x ^ 2 + Hacha [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 1 ^ 2 + A (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica A = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x ^ 2 – x [/ matemáticas]

Answer 5

Si.

xy ‘- y = x ^ 2

x ^ 2 (d / dx) (y / x) = x ^ 2

(d / dx) y / x = 1

y / x = x + c

y = x ^ 2 + cx = x (x + c).

En x = 1, y = 0 = 1 + c.