Lo que está describiendo es una superficie , la generalización de una función unidimensional a una que asigna cada punto en su dominio bidimensional a un valor. Estos generalmente están representados por gráficos que se ven así:
El dominio en este caso es el plano xy y el valor está representado por la altura (eje z) del gráfico, aunque de ninguna manera es la única representación válida; Las funciones que se asignan desde el espacio tridimensional a menudo colorean diferentes partes del dominio para representar el valor.
Veamos tu ejemplo.
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- Si [matemática] a (2- \ sqrt 3) = b (2+ \ sqrt 3) = 1 [/ matemática] entonces ¿cuál es el valor de [matemática] a ^ 2-b ^ 2 [/ matemática]?
Se describe mediante algunas ecuaciones. En primer lugar, cada sección transversal es un círculo; esto significa que cada “corte” de su superficie a lo largo del eje x se puede parametrizar como [math] [/ math]. Tenga en cuenta que el círculo se encuentra en el plano yz, por lo que dejamos la x allí. Pero ahora, te preguntas qué es esta misteriosa variable [matemáticas] r [/ matemáticas]. Bueno, es simplemente el radio del círculo. Y el radio del círculo viene dado por el valor de [math] f (x) [/ math]. Entonces ahora tenemos una parametrización de su superficie en dos variables (que refleja su naturaleza bidimensional; las superficies tienen área, no volumen, así como las curvas solo tienen longitud, no área) – [matemáticas] \ Phi (x, \ theta) = [/ math].
Permítanme explicar las parametrizaciones antes de continuar. En los términos más simples posibles, una parametrización describe la función en términos del dominio. En nuestro ejemplo, para cada punto [math] (x, \ theta) [/ math] en el dominio, tenemos una función [math] \ Phi (x, \ theta) [/ math] que asigna el punto a un vector , [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas], que describe la posición del punto en el espacio tridimensional.
Bien, volvamos a nuestro ejemplo. Ahora, queremos elegir un dominio natural para graficar, porque de lo contrario la curva se verá inestable (debido a la inclusión de un cambio de variables; no se preocupe por qué es esto). Lo que realmente queremos es una relación cartesiana entre x, y y z. La coordenada x ya se ha solucionado, pero existen esos cosenos, senos y thetas desagradables. Parece natural graficar la superficie en función de y y z mientras se deja x como representación del valor; [matemática] x = f (y, z) [/ matemática], de modo que nuestros vectores de resultado se vean como [matemática] [/ matemática]. Así que tratemos de encontrar una relación entre las coordenadas primera, segunda y tercera de la ecuación. Bueno, este es un poco simple. Como [matemáticas] y ^ 2 + z ^ 2 = (\ cos ^ 2 {\ theta} + \ sin ^ 2 {\ theta}) \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas], podemos concluir que a la representación de su sólido de revolución en las coordenadas cartesianas sería el paraboloide [matemático] [/ matemático] que se puede abreviar a la ecuación [matemática] x = y ^ 2 + z ^ 2 [/ math], ya que se entiende que [math] y [/ math] y [math] z [/ math] son los parámetros que describen el dominio en el que se grafica esta superficie.
Y casualmente (o no), la imagen que he presentado arriba es simplemente una rotación de la superficie que diste:
(Tenga en cuenta que los ejes se han cambiado en esta imagen en comparación con la primera figura).