Cómo resolver [math] \ int \ sqrt {1 + x ^ 4} dx [/ math]

Answer 1

La integral no es tan fácil de resolver como parece ser. Implica la función hipergeométrica ordinaria y un resultado estándar asociado con ella que es,

[matemáticas] \ forall \ a> 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {\ displaystyle \ int \ sqrt {1 + x ^ a} \ dx = x \ \ _2F_1 \ left (- \ frac {1} {2}, \ frac {1} { a}, \ left (1+ \ frac {1} {a} \ right), – x ^ a \ right)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Para la integral dada, ponga [math] a = 4 [/ math] para obtener la respuesta,

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int \ sqrt {1 + x ^ 4} \ dx = x \ \ _2F_1 \ left (- \ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {5} {4}, – x ^ 4 \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

PRUEBA

Observe cómo la expansión en serie del integrando viene dada por,

[matemáticas] \ begin {align} \ sqrt {1 + x ^ a} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {1/2 \ elegir k} (x ^ a) ^ k \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Por eso, cuando integramos término por término obtenemos,

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ sqrt {1 + x ^ a} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {1/2 \ elegir k} \ frac {x ^ {(ak + 1 )}} {ak + 1} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Pero,

[matemáticas] \ begin {align} {1/2 \ choose k} = \ frac {\ Gamma (3/2)} {\ Gamma (k + 1) \; \ Gamma (3/2-k)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ implica {1/2 \ choose k} = \ frac {(2k)!} {(- 4) ^ k (k!) ^ 2 (1-2k)} \ end {align } \ tag * {} [/ math]

Ahora, si busca la definición de la función hipergeométrica, verá por qué nuestra proposición es cierta.

Notas al pie:

Función hipergeométrica

Función hipergeométrica – Wikipedia

La misma integral con límites

Answer 2

Hola dts5044!

¿Quieres ver una solución verdaderamente lejana?

∫dx1 + x4 [matemática] ∫dx1 + x4 [/ matemática]

Tenemos: 1 × 4 + 1 = 12 [x2 + 1 − x2 + 1 × 4 + 1] = 12 [x2 + 1 × 4 + 1 − x2−1 × 4 + 1] [matemáticas] Tenemos: 1 × 4 + 1 = 12 [x2 + 1 − x2 + 1 × 4 + 1] = 12 [x2 + 1 × 4 + 1 − x2−1 × 4 + 1] [/ matemática]

Divida la parte superior e inferior entre x2: 12 [x2 + 1x2x4 + 1 × 2 − x2−1x2x4 + 1 × 2] [matemática] Divida la parte superior e inferior entre x2: 12 [x2 + 1x2x4 + 1 × 2 − x2−1x2x4 + 1 × 2] [/ matemáticas]

E integraremos: 12 [∫ (1 + 1 × 2) dxx2 + 1 × 2 − ∫ (1−1 × 2) dxx2 + 1 × 2] [matemáticas] E integraremos: 12 [∫ (1 + 1 × 2) dxx2 + 1 × 2 − ∫ (1−1 × 2) dxx2 + 1 × 2] [/ matemática]

.

[1]

Sea u = x − 1x⇒du = (1 + 1 × 2) dx [matemáticas] Sea u = x − 1x⇒du = (1 + 1 × 2) dx [/ matemáticas]

Sea v = x + 1x → dv = (1−1 × 2) dx [matemática] Sea v = x + 1x → dv = (1−1 × 2) dx [/ matemática]

. .

u2 = x2−2 + 1 × 2⇒u2 + 2 = x2 + 1 × 2 [matemática] u2 = x2−2 + 1 × 2⇒u2 + 2 = x2 + 1 × 2 [/ matemática]

. .

v2 = x2 + 2 + 1 × 2⇒v2−2 = x2 + 1 × 2 [matemática] v2 = x2 + 2 + 1 × 2⇒v2−2 = x2 + 1 × 2 [/ matemática]

Sustituir en

[1]

:

. . . .

12 [∫duu2 + 2 − ∫dvv2−2] [matemática] 12 [∫duu2 + 2 − ∫dvv2−2] [/ matemática]

Solo integre y reemplace.

Answer 3

La solución involucra integrales elípticas, así que solo publicaré un enlace a la respuesta final http://m.wolframalpha.com/input/ …