Si [matemáticas] a + b = \ frac {a} {b} + \ frac {b} {a}; a, b \ in \ mathbb {N} [/ math], entonces, ¿cuál es el valor de [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]?

* A2A

Rohan Ganguly nos ha dado la respuesta directa, así que estoy tomando el enfoque indirecto.

Método 1:

[matemáticas] \ begin {align} (ab) ^ 2 & \ ge0 \\ a ^ 2-2ab + b ^ 2 & \ ge0 \\ a ^ 2 + b ^ 2 & \ ge2ab \\\ dfrac {a ^ 2} {ab } + \ dfrac {b ^ 2} {ab} & \ ge 2 \\\ dfrac ab + \ dfrac ba & \ ge2 \\\ text {La igualdad es obt} & \ text {ained when} \ boxed {a = b} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Como [math] a, b \ in \ N [/ math], debemos tener [math] a = b = 1 [/ math], de modo que [math] \ dfrac ab + \ dfrac ba = a + b = 2 [ /matemáticas]

Pero esto también implica que [math] \ boxed {a ^ 2 + b ^ 2 = 2} \ tag * {} [/ math]

Método 2:

Gracias al hecho de que [matemáticas] a, b \ in \ N [/ matemáticas]

Aplicando [matemáticas] AM \ ge GM [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} 2 & \ ge \ sqrt {a ^ 2b ^ 2} \\ a ^ 2 + b ^ 2 & \ ge2ab \\\ text {La igualdad es obt } & \ text {ained when} \ boxed {a = b} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Así que vamos a ver ese caso …

Para cualquier [matemática] a = b, a ^ 2 + b ^ 2 \ ge 2ab [/ matemática] mantendrá
Ahora usemos un poco de ingeniería inversa …

[matemáticas] \ begin {align} a ^ 2 + b ^ 2 & = 2ab \\\ dfrac ab + \ dfrac ba & = 2 \\ a + b & = 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Como [math] a, b \ in \ N [/ math], debemos tener [math] a = b = 1 [/ math]

y por lo tanto [matemáticas] \ boxed {a ^ 2 + b ^ 2 = 2} \ tag * {} [/ math]

¿Qué es una explicación intuitiva de la ecuación [matemáticas] log \ sigma (v_ {w_o} ^ T v_ {w_c}) + \ sum ^ K_ {i = 1} \ mathbb {E} _ {i \ sim P (w) } \ left [log \ sigma (- u ^ T_ {w_i} v_ {w_c}) \ right] [/ math]?

¿Por qué la comida de los supermercados es tan cara en los Estados Unidos frente al Reino Unido? Compré 4 magdalenas en el Reino Unido por 1GBP o aproximadamente $ 1.25; localmente, en CT, son $ 4.

Para esta ecuación diferencial, x dy / dx = x ^ 2 + y, dado que y = 0 cuando x = 1, ¿es la respuesta c = -1?

Cómo demostrar esta identidad desde la combinatoria

¿Qué universidad debería elegir, Shankra 1 o Rungta 1?

Cómo encontrar la intersección y de una línea lineal que es tangente a una parábola

* A2A: –

[matemáticas] \ implica a + b = \ dfrac {a} {b} + \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ab (a + b) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ 2b + b ^ 2a = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ underbrace {a ^ 2 \ left (b-1 \ right)} _ {\ ge0} + \ underbrace {b ^ 2 \ left (a-1 \ right)} _ {\ ge0} = 0 \ quad \ left [a, b \ in \ mathbb {N} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Entonces, para que sea [matemáticas] 0 [/ matemáticas], ambos términos deben ser iguales a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] lo que nos da:

[math] \ implica \ boxed {a = 1 \, \, \, \ text {&} \, \, \, b = 1} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Por lo tanto,

[math] \ implica \ boxed {a ^ 2 + b ^ 2 = 2} [/ math]

Kumar Saurav

Dado que [math] a \ ge \ frac {a} {b} [/ math] con igualdad si y solo si [math] b = 1 [/ math] y [math] b \ ge \ frac {b} {a} [/ math] con igualdad si y solo si [math] a = 1 [/ math], debemos tener [math] a = b = 1 [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 2 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Karan Sharma

El LHS es un número natural.

Por lo tanto, RHS también debe ser un número natural.

Si a> b o b> a está allí, entonces la condición no se cumple. Por lo tanto a = b.

Ahora, poniendo a = b en la ecuación, obtenemos

2a = 2

Por lo tanto a = 1. También b = 1.

Entonces, a ^ 2 + b ^ 2 = 2.

Karan Sharma