Cómo resolver [matemáticas] 4 ^ x + 4 ^ {\ frac 1x} = 18 [/ matemáticas]

Answer 1

La función [matemática] f (x) = 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} [/ matemática] se define para todos los [matemática] x \ ne 0 [/ matemática] reales. Dado que intercambiar [math] x [/ math] y [math] \ frac {1} {x} [/ math] no cambia la función [math] \ big (f \ big (\ frac {1} {x} \ big) = f (x) [/ math] para [math] x \ ne 0 \ big) [/ math], la función está completamente determinada por sus valores en [math] x \ ge 1 [/ math] y [math ] x \ le -1 [/ math].

Ahora [matemática] x <0 [/ matemática] implica [matemática] 4 ^ x <1 [/ matemática] y [matemática] 4 ^ {1 / x} 0 [/ matemática]. En vista de los comentarios realizados anteriormente, podemos suponer [math] x> 1 [/ math]; [matemática] x = 1 [/ matemática] se puede descartar directamente. Recuerde que si [matemática] x = a [/ matemática] es una solución a la ecuación [matemática] 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} = 18 [/ matemática], entonces también lo es [matemática] x = \ frac {1} {a} [/ matemáticas].

La función [matemáticas] f (x) = 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} [/ matemáticas] es diferenciable en todas partes donde se define, y

[matemáticas] f ^ {\ prime} (x) = 4 ^ x \ cdot \ ln 4 – \ frac {4 ^ {1 / x}} {x ^ 2} \ cdot \ ln 4> 4 ^ x \ cdot \ ln 4 – 4 ^ {1 / x} \ cdot \ ln 4 = \ big (4 ^ x-4 ^ {1 / x} \ big) \ ln 4> 0 [/ math]

dado que [math] x> 1 [/ math] y la función [math] g (x) = 4 ^ x [/ math] está aumentando en el intervalo [math] (1, \ infty) [/ math].

Esto implica que la función [math] f [/ math] está aumentando en el intervalo [math] (1, \ infty) [/ math]. Por lo tanto, hay como máximo una solución [matemática] x = a [/ matemática] a [matemática] 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} = 18 [/ matemática]. Como [matemáticas] f (2) = 4 ^ 2 + 4 ^ {1/2} = 16 + 2 = 18 [/ matemáticas], hay una solución única [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] en el intervalo [ math] (1, \ infty) [/ math], y una solución única [math] x = \ frac {1} {2} [/ math] en el intervalo [math] (0,1) [/ math].

No hay otra solución.

Answer 2

Supongo que te refieres a [matemáticas] 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} = 18. [/ Matemáticas]

Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 2 yx = 1/2. Para mostrar esto, primero tenga en cuenta que si x es una solución, entonces también lo es 1 / x.

A continuación, puede ver que x = 2 es una solución (solo conéctelo). No creo que haya una manera de obtener esta solución, excepto adivinándola. Esto significa que x = 1/2 también es una solución.

Para mostrar que estas son las dos únicas soluciones, observe la función [matemáticas] f (x) = 4 ^ x + 4 ^ {1 / x} [/ matemáticas]. Su derivada es [matemáticas] f ‘(x) = \ ln (4) \ left (4 ^ x- \ frac {4 ^ {1 / x}} {x ^ {2}} \ right). [/ math] La derivada es igual a cero en x = 1. Para x> 1, la derivada es positiva ya que [matemática] 4 ^ x> 4 [/ matemática] pero [matemática] 4 ^ {1 / x} <4 [/ matemática] y [matemática] \ frac {1} {x ^ {2}} <1 [/ matemáticas]. De manera similar, puede verificar que la derivada en [math] x <1 [/ math] sea negativa. Por lo tanto, [math] f (x) [/ math] tiene un mínimo único en x = 1. Conclusión: solo hay dos soluciones y son x = 2 yx = 1/2.

Answer 3

Primero, tenga en cuenta que si [math] x = a [/ math] es una solución, entonces [math] x = \ frac {1} {a} [/ math] también debe ser una solución (verifique eso al conectar [math] ] \ frac {1} {a} [/ math] en la ecuación).

Luego podemos, por prueba y error, identificar que tanto [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] como [matemáticas] x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] son ​​soluciones.

Para demostrar que son los únicos, estudiemos el comportamiento de [matemáticas] f (x) = 4 ^ x + 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas]

Tomando los rendimientos de la primera derivada: [matemáticas] f ‘(x) = ln (4) * 4 ^ x – \ frac {1} {x ^ 2} * ln (4) * 4 ^ {\ frac {1} {x }}[/matemáticas]. Para encontrar puntos críticos, tomamos esta derivada y la establecemos igual a [matemática] 0 [/ matemática]: [matemática] ln (4) * 4 ^ x – \ frac {1} {x ^ 2} * ln (4) * 4 ^ {\ frac {1} {x}} = 0 [/ matemáticas].

Como [math] ln (4) [/ math] no es [math] 0 [/ math] podemos simplificar esto a [math] 4 ^ x – \ frac {1} {x ^ 2} * 4 ^ {\ frac {1} {x}} = 0 [/ matemáticas]. Esto produce dos soluciones, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Tomando la segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos:

[matemáticas] f ” (x) = (ln 4) ^ 2 * 4 ^ x + (\ frac {ln (4)} {x ^ 2}) ^ 2 * 4 ^ {\ frac {1} {x} } + \ frac {2 * ln (4)} {x ^ 3} * 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ math]

Para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] f ” (1) = 8 * (ln (4)) ^ 2 + 2 * ln (4) [/ matemáticas] que es un número positivo y, por lo tanto, un mínimo de [math] f (x) [/ math]. Para [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] f ” (- 1) = \ frac {(ln (4)) ^ 2} {2} – \ frac {ln (4)} {2} [/ math] que es un número positivo y, por lo tanto, también un mínimo.

Ahora tenemos que estudiar la función donde se define, que es para cada número real, excepto [math] 0 [/ math].

Caso 1: [matemáticas] x [/ matemáticas] es un número real positivo.

Cuando [math] x [/ math] es positivo, tenemos un mínimo para [math] x = 1 [/ math] que produce [math] f (1) = 8 [/ math]. Lo que esto implica es que en el intervalo [matemática] (0, 1] [/ matemática] [matemática] f (x) [/ matemática] está disminuyendo estrictamente, y en el intervalo [matemática] (1, \ infty) [/ matemática] está aumentando estrictamente, lo que significa que las soluciones encontradas ([matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] y [matemática] 2 [/ matemática]) son únicas en los reales positivos.

Caso 2: [matemáticas] x [/ matemáticas] es un número real negativo.

Cuando [math] x [/ math] es negativo, tenemos un máximo para [math] x = – 1 [/ math], que produce [math] f (-1) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. A medida que [math] x [/ math] se acerca a [math] – \ infty [/ math], el valor de [math] f (x) [/ math] se acerca a [math] 1 [/ math]; y debido a la simetría descrita al principio, cuando [math] x [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math] desde la izquierda, también se acercará a [math] 1 [/ math]. Entonces, la función está limitada en los números reales negativos entre [math] \ frac {1} {2} [/ math] y [math] 1 [/ math], y no tenemos ningún valor negativo que produzca [ matemáticas] 18 [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestras únicas soluciones en los números reales son [matemáticas] x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Editar: Error al tomar los derivados.

Answer 4

Asumiré que [math] x [/ math] es real. Deje que la función [math] f: {\ R – \ {0} \} \ mapsto \ R ^ {+} [/ math] se defina como [math] f (x) = 4 ^ x + 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas]. Ahora, observe que [math] f (\ frac {1} {x}) = 4 ^ x + 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ math] que también es igual a [math] f (x ), \ forall x \ in {\ R – \ {0} \} [/ math]. Ahora, sustituyendo [math] x = 2 [/ math], [math] f (2) = f (\ frac {1} {2}) [/ math]. Lo que nos da la otra solución real de la ecuación. También podemos verificar esto manualmente: [matemáticas] 4 ^ 2 + 4 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas] también es igual a [matemáticas] 18 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [math] \ frac {1} {2} [/ math] es la única otra solución porque [math] f (x) [/ math] es menor que [math] 1 [/ math] para todos los valores negativos de [matemática] x [/ matemática], y la curva [matemática] y = f (x) [/ matemática] tiene exactamente ( solo ) un mínimo (en [matemática] x = 1 [/ matemática]) para valores positivos de [ matemáticas] x [/ matemáticas]. Esto se debe a que [matemática] 4 ^ x [/ matemática] aumenta monotónicamente sobre [matemática] (0,1) [/ matemática] y [matemática] 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemática] disminuye monotónicamente durante el mismo intervalo, pero ambos permanecen positivos. Después de eso, [matemática] 4 ^ x [/ matemática] aumenta monotónicamente y [matemática] 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemática] disminuye monotónicamente, pero ambas permanecen positivas, de [matemática] 1 [/ matemáticas] hasta el infinito. En [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática] f (x) = 8 [/ matemática] y [matemática] f (x) [/ matemática] disminuye monotónicamente sobre [matemática] (0,1) [ / math] y aumenta monotónicamente sobre [math] (1, \ infty) [/ math], por lo que cada valor de [math] f (x) [/ math] se obtiene dos veces.

¡Espero que esto te ayude!

Answer 5

Dado que la ecuación no se modifica al reemplazar la variable por su recíproco, podemos adivinar que las raíces ocurren en pares como recíprocos.

Por prueba y error, podemos ver fácilmente que [matemáticas] \; 2 \; [/ matemáticas] es una raíz de la ecuación [matemáticas] \; \; f (x) = 4 ^ {x} + 4 ^ {1 / x} -18 \; = 0 \;. \; [/ math] Por lo tanto, [math] \; \; 1/2 \; [/ math] también es una raíz.

Al trazar el gráfico, podemos ver que la ecuación no tiene otras raíces.

Puede usar el widget de trazador de gráficos Wolfram (que es mi favorito) para trazar

la gráfica de [matemáticas] \; f \;. \; [/ matemáticas]

La gráfica de [matemáticas] \; \; f (x) \; \; [/ matemáticas] se da a continuación:

Answer 6

Hoy no puedo publicar todos los métodos hoy, pero le aseguro que los agregará en las próximas ediciones.

Los dos métodos más fáciles que puedo encontrar son:

El primero

Es bastante simple cuando la pregunta se refiere al poder. En general, obtenemos poderes hasta un máximo de 6 , por lo que es fácil para nosotros usar el método hit y trial para obtener la respuesta 2.

Segundo método

Te mostraré los cálculos matemáticos:

[matemáticas] 4 ^ x + 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas] = 18.

Separar 18 = 16 + 2.

Ahora, [matemáticas] 4 ^ x + 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas] = 16 + 2

Al comparar ambos lados,

[matemáticas] 4 ^ x [/ matemáticas] = 16 y [matemáticas] 4 ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas] = 2

Ahora sabemos que [matemáticas] 4 ^ 2 = 16 [/ matemáticas]

Entonces x = 2 ,

Y de manera similar

[matemáticas] 4 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas] = 2

Entonces, la respuesta vuelve a ser 2.

Perdón por no dar la explicación detallada, pero la editaré pronto.

¡Gracias por leerlo pacientemente!

Answer 7

Divide 18 en dos números, cada uno con una potencia de 4

[matemáticas] 18 = 16 + 2 = 4 ^ 2 + 4 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

Answer 8

Haciéndolo como una forma de estudiante de matemática elemental, trace la gráfica de y = 4 ^ x + 4 ^ 1 / x — 18, a intervalos de ½, de x = —4 a x = + 4, obtendrá un bonito gráfico fresco cortando el eje x en x = ½ yx = 2, con un mínimo de -10 en x = 1, aumentando bruscamente después de x = 2, acercándose asintóticamente al eje y positivo desde x = ½, para valores negativos de x , el gráfico es asintótico a ambos ejes negativos. Por lo tanto, solo hay dos soluciones, a saber, x = ½ yx = 2.

Answer 9

Objetivo acercamiento puesto x = 1,2,3,4,5,6… ..

Y obtuve respuesta