¿Puedes demostrar que la función inversa de f (x) = (a-bx) / (cx + d) es (a-dx) / (cx + b)?

Answer 1

Esto se puede probar con una condición adecuada en los valores de [matemática] a, b, c, d [/ matemática].

Si tenemos una función [matemática] f: A \ a B [/ matemática], entonces una función [matemática] g [/ matemática] es la función inversa de [matemática] f [/ matemática] si y solo si:

• [matemática] f (x) [/ matemática] es uno a uno y en [matemática] B [/ matemática] ( es decir , una biyección entre [matemática] [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] );
• [matemáticas] g: B \ a A [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ forall x \ en A \ g (f (x)) = x [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ para todos x \ en B \ f (g (x)) = x [/ matemáticas]

Considere [math] f: \ mathbb {R} \ to f (\ mathbb {R}) [/ math] tal que [math] x \ mapsto \ frac {a-bx} {cx + d} [/ math], donde [math] f (\ mathbb {R}) = \ {f (x): x \ in \ mathbb {R} \} [/ math]. Tenga en cuenta que [math] f (\ mathbb {R}) \ subseteq \ mathbb {R} [/ math].

Considere [math] g: f (\ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] x \ mapsto \ frac {a-dx} {cx + b} [/ math].

Tenga en cuenta que [math] f (x) [/ math] está en [math] f (\ mathbb {R}) [/ math] por definición, por lo que debemos mostrar que [math] f (x) [/ math] es uno a uno, es decir , que [matemáticas] f (x_1) = f (x_2) \ implica x_1 = x_2 [/ matemáticas].

[matemáticas] f (x_1) = f (x_2) \ implica \ frac {a – bx_1} {cx_1 + d} = \ frac {a – bx_2} {cx_2 + d} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto acx_2 + anuncio – bcx_1x_2 – bdx_1 = acx_1 – bcx_1x_2 + anuncio – bdx_2 [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto acx_1 + bdx_1 = acx_2 + bdx_2 [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto x_1 (ac + bd) = x_2 (ac + bd) [/ math]

[math] \ por lo tanto x_1 = x_2 [/ math] proporcionado [math] ac + bd \ ne 0 [/ math]

Para mostrar: [math] g (f (x)) = x \ \ forall x \ in f (\ mathbb {R}) \ subseteq \ mathbb {R} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} g (f (x)) & = \ frac {a-df (x)} {cf (x) + b} \\ & = \ frac {ad \ left (\ frac {a -bx} {cx + d} \ right)} {c \ left (\ frac {a-bx} {cx + d} \ right) + b} \\ & = \ frac {a (cx + d) – d (a-bx)} {c (a-bx) + b (cx + d)} \\ & = \ frac {acx + ad – ad + bdx} {ac – bcx + bcx + bd} \\ & = \ frac {x (ac + bd)} {ac + bd} = x && \ porque ac + bd \ ne 0 \ end {align} [/ math]

Para mostrar: [math] f (g (x)) = x \ \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} f (g (x)) & = \ frac {a-bg (x)} {cg (x) + d} \\ & = \ frac {ab \ left (\ frac {a -dx} {cx + b} \ right)} {c \ left (\ frac {a-dx} {cx + b} \ right) + d} \\ & = \ frac {a (cx + b) – b (a-dx)} {c (a-dx) + d (cx + b)} \\ & = \ frac {acx + ab – ab + bdx} {ac – cdx + cdx + bd} \\ & = \ frac {x (ac + bd)} {ac + bd} = x && \ porque ac + bd \ ne 0 \ end {align} [/ math]

Por lo tanto, [matemática] g (x) [/ matemática] es la función inversa de [matemática] f (x) [/ matemática] proporcionada [matemática] ac + bd \ ne 0 \ [/ matemática] QED .

Answer 2

Aquí está la versión rápida:

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {a-bx} {cx + d} \ iff cxy + dy + bx-a = 0 \ iff x = \ frac {a-dy} {cy + b} [/ math]

Para completar la prueba, debe preocuparse por el dominio / codominio de [math] f [/ math], y si tenía o no el derecho de dividir por cosas

Answer 3

para f (x) = (a-bx) / (cx + d)

lo contrario a un matemático lineal (piense en un sistema de bucle abierto, sin necesidad de respuesta para descubrir variables de entrada),

1 / f (x) = (cx + d) / (a-bx),

a matemáticos no lineales (sistema de circuito cerrado, compara la salida con los resultados requeridos para determinar la siguiente entrada)

Al comparar la salida esperada, = (a-dx) / (cx + b) con su salida, (cx + d) / (a-bx), se da cuenta de que su respuesta es incorrecta según el sistema.

Entonces rediseñas tus variables de entrada y operadores. se dará cuenta de que la pregunta realmente le pide que invierta la letra sobre los operandos, de modo que “b” se convierte en “d” y viceversa.

por lo tanto, el inverso de f (x) = (a-bx) / (cx + d), 1 / f (x), = a-dx) / (cx + b)

Answer 4

Simplemente resuelva la ecuación x = (a – by) / (cy + d) para y.