Hay una gran cantidad de invariantes sorprendentemente computables de espacios topológicos que se pueden calcular tomando la homología de los complejos de cadena. Te costará entender el punto del álgebra homológica hasta que hayas visto al menos uno de ellos. Una vez que haya visto varios de ellos, comienza a preguntar cuáles son las relaciones entre ellos y comienza a notar que los mismos hechos aparecen una y otra vez. Y eso te lleva a estudiar los complejos de cadena y su homología de manera abstracta. En ese momento, estás haciendo álgebra homológica.
Quizás la teoría más rápida para comenzar a computar es la de la homología simplicial. Este será un sistema de invariantes topológicos dado por la homología de un complejo de cadena. No puedo dar una introducción completa aquí, pero puedo dar un ejemplo.
Restringimos nuestra atención a los espacios topológicos que son homeomórficos a los denominados espacios simpliciales, que son espacios topológicos construidos a partir de una colección de triángulos (posiblemente de alta dimensión), llamados complejos simpliciales.
Considere el círculo, [matemáticas] S ^ 1 [/ matemáticas]. Es homeomorfo al límite de un triángulo, digamos este:
- ¿Qué sucederá si intentamos combinar 4 g de A con 1 g de B, si los elementos A y B se combinan para formar AB en una proporción fija de 3: 1 en peso?
- Cómo encontrar la intersección y de una línea lineal que es tangente a una parábola
- Si [matemáticas] a + b = \ frac {a} {b} + \ frac {b} {a}; a, b \ in \ mathbb {N} [/ math], entonces, ¿cuál es el valor de [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]?
- ¿Qué universidad debería elegir, Shankra 1 o Rungta 1?
- Cómo resolver [math] \ int \ sqrt {1 + x ^ 4} dx [/ math]
El complejo simplicial correspondiente consta de tres aristas (¡triángulos unidimensionales!) Y 3 vértices (¡triángulos 0 dimensionales!)
Los bordes están relacionados con los vértices en que algunos de los vértices se encuentran en los “límites” de los bordes. Para hacer un seguimiento de qué vértice se encuentra en qué extremo, les damos signos. El límite del borde [matemática] \ overline {AC} [/ math], por ejemplo, tendrá más el punto A y menos el punto C. En los símbolos, [math] \ partial (\ overline {AC}) = A – C [/ matemáticas]. (Podríamos haber elegido más C y menos A. Siempre y cuando seamos consistentes, no importa). Dado que ya hemos decidido usar más y menos, también podríamos extender esta noción de límite a sumas formales de aristas por linealidad. Por ejemplo, [matemática] \ parcial (\ overline {AC} + 2 \ overline {AB}) = 3A – C – 2B [/ math].
Si tuviéramos triángulos (bidimensionales) en nuestro complejo, les daríamos una noción de límite al tomar una suma alterna de sus bordes. Por ejemplo, si se completara el triángulo [matemática] ABC [/ matemática], podríamos tener [matemática] \ parcial (ABC) = \ overline {AB} – \ overline {CB} + \ overline {AB} [/ math] . (También hay una opción de señal aquí).
Haga esto para cualquier complejo simplicial (con generalizaciones adecuadas para dimensiones superiores y demás) y terminará con la propiedad de que [math] \ partial \ circ \ partial = 0 [/ math]. En palabras, el límite de un límite es cero, algo que tiene mucho sentido visual. Algebraicamente, esto dice que las combinaciones lineales de los triángulos en el complejo simplicial forman un complejo de cadena. Aquí, nuestro complejo de cadenas es bastante simple:
[matemáticas] 0 \ a \ mathbb {Z} ^ 3 \ a \ mathbb {Z} ^ 3 \ a 0. [/ matemáticas]
El primer [math] \ mathbb {Z} ^ 3 [/ math] proviene de los tres bordes: una tupla [math] (x, y, z) [/ math] corresponde a la suma formal [math] x \ overline { AC} + y \ overline {CB} + z \ overline {AB} [/ math]. El segundo [math] \ mathbb {Z} ^ 3 [/ math] proviene de los tres vértices: una tupla [math] (x, y, z) [/ math] corresponde a la suma formal [math] xA + yB + zC [/ matemáticas]. La flecha del medio es el mapa [matemática] \ parcial [/ matemática]. Con nuestra elección de base, está dada por una matriz como [math] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \ end {bmatrix} [ / math], dependiendo de las elecciones de signo.
Tomar la homología de este complejo es solo una cuestión de calcular algunos núcleos e imágenes de matrices. En otras palabras, en el esquema de las cosas en topología, esto es extremadamente computable . En este ejemplo, terminas con [math] H_1 = \ mathbb {Z} [/ math] y [math] H_0 = \ mathbb {Z} [/ math], y todo lo demás cero.
Si hace el mismo cálculo con un segmento de línea, terminará con [matemáticas] H_1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] H_0 = \ mathbb {Z} [/ matemáticas]. Nuestras [matemáticas] H_1 [/ matemáticas] son diferentes, lo que refleja el hecho de que un círculo tiene un agujero, pero un segmento de línea no. Es un hecho que estos grupos de homología son invariables bajo el homeomorfismo, por lo que hemos demostrado algo: una línea no es homeomorfa a un círculo. Fácil.
Ahora en el álgebra homológica: ¿Qué pasa si, en lugar de usar [math] \ mathbb {Z} [/ math] s arriba, usamos [math] \ mathbb {R} [/ math] s? El resultado sería una invariabilidad topológica nuevamente, pero ¿sería una diferencia apreciablemente diferente? El álgebra homológica describe exactamente cuál sería la nueva homología.
Esto es apenas un comienzo, pero espero que al menos te haya dado algo interesante sobre lo que el álgebra homológica pueda hablar y una pregunta que el álgebra homológica pura pueda responder. ¡Hay mucho más! Homología y cohomología simple, cohomología sheaf, cohomología Cech, cohomología De Rham, extensiones de módulos … pero me detendré aquí.
(Millones de ediciones: TeXing a medianoche es difícil).