Cómo resolver esto: [matemáticas] \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} \ dx [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} dx [/ matemáticas]

Sustituir [matemáticas] \ tan x = t ^ 2 [/ matemáticas]; [matemática] \ sec ^ 2 x dx = 2t d [/ matemática] t; [matemáticas] dx = \ dfrac {2t dt} {1 + t ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ left (t + \ dfrac {1} {t} \ right) \ dfrac {2t dt} {1 + t ^ 4} = \ int \ dfrac {2 (t ^ 2 + 1 ) dt} {1 + t ^ 4} [/ matemáticas]

Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre [matemáticas] t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2 \ left (1+ \ dfrac {1} {t ^ 2} \ right) dt} {t ^ 2 + \ dfrac {1} {t ^ 2}} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2 \ left (1+ \ dfrac {1} {t ^ 2} \ right) dt} {\ left (t- \ dfrac {1} {t} \ right) ^ 2 + 2} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] t- \ dfrac {1} {t} = u [/ matemáticas]; Entonces [matemáticas] (1+ \ dfrac {1} {t ^ 2}) dt = du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {2du} {u ^ 2 + 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {2} {\ sqrt 2} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {u} {\ sqrt 2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt 2 \ tan ^ {- 1} \ dfrac {t- \ dfrac {1} {t}} {\ sqrt 2} + C [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ sqrt 2 \ tan ^ {- 1} \ dfrac {\ sqrt {\ tan x} – \ sqrt {\ cot x}} {\ sqrt 2} + C} [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Let} T & = \ displaystyle \ int \ sqrt {\ tan {x}} + \ sqrt {\ cot {x}} \, \ mathrm dx \\ & = \ int \ frac {\ tan {x}} {\ sqrt {\ tan {x}}} + \ frac {\ cot {x}} {\ sqrt {\ cot {x}}} \, \ mathrm dx \ end {align }[/matemáticas]

Recuerde que [matemáticas] \ tan {\ theta} [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv \ dfrac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta}} [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv \ dfrac { \ sec {\ theta}} {\ csc {\ theta}} [/ math] y [math] \ cot {\ theta} [/ math] [math] \ equiv \ dfrac {\ cos {\ theta}} { \ sin {\ theta}} [/ math] [math] \ equiv \ dfrac {\ csc {\ theta}} {\ sec {\ theta}} [/ math].

También [math] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} \ equiv 1 [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto \ tan {\ theta} + \ cot {\ theta} & \ equiv \ frac {\ sec {\ theta}} {\ csc {\ theta}} + \ frac {\ csc {\ theta}} {\ sec {\ theta}} \\ & \ equiv \ sec {\ theta} \ csc {\ theta} \ left (\ frac {1} {\ csc ^ 2 {\ theta}} + \ frac {1} {sec ^ 2 {\ theta}} \ right) \\ & \ equiv \ sec {\ theta} \ csc {\ theta} \ left (\ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 { \ theta} \ right) \ equiv \ sec {\ theta} \ csc {\ theta} \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ frac {\ sec {x}} {\ csc {x} \, \ sqrt {\ tan {x}}} + \ frac {\ csc {x }} {\ sec {x} \, \ sqrt {\ cot {x}}} \, \ mathrm dx \\ & = \ int \ frac {1} {\ sec {x} \ csc {x}} \ left (\ frac {\ sec ^ 2 {x}} {\ sqrt {\ tan {x}}} + \ frac {\ csc ^ 2 {x}} {\ sqrt {\ cot {x}}} \ right) \ , \ mathrm dx \\ & = \ int \ frac {1} {\ tan {x} + \ cot {x}} \ left (\ frac {\ sec ^ 2 {x}} {\ sqrt {\ tan {x }}} + \ frac {\ csc ^ 2 {x}} {\ sqrt {\ cot {x}}} \ right) \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]

Deje que [matemáticas] u = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ sqrt {\ tan {x}} – \ sqrt {\ cot {x}} \ right) \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ dfrac {\ sec ^ 2 {x}} {2 \ sqrt {\ tan {x}}} + \ dfrac {\ csc ^ 2 {x}} {2 \ sqrt {\ cot {x}}} \ right) \, \ mathrm dx [/ math].

Ahora [matemáticas] u ^ 2 = \ frac {1} {2} \ left (\ tan {x} – 2 \ sqrt {\ tan {x} \ cot {x}} + \ cot {x} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (\ tan {x} + \ cot {x} \ right) – 1 [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ frac {2 \ sqrt {2}} {2 \ left (u ^ 2 + 1 \ right)} \, \ mathrm du = \ sqrt {2} \ int \ frac {1} {u ^ 2 + 1} \, \ mathrm du = \ sqrt {2} \ arctan {u} \\ & = \ boxed {\ sqrt {2} \ arctan {{\ scriptsize \ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (\ sqrt {\ tan {x}} – \ sqrt {\ cot {x}} \ right)} + C} \ end {align} [/ math]

---

Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ sqrt {\ tan x} + \ frac {1} {\ sqrt {\ tan x}} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1+ \ tan x} {\ sqrt {\ tan x}} \ mathrm {d} x [/ math]

Multiplicamos [math] \ sec ^ 2 x [/ math] en el numerador y el denominador.

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {(1+ \ tan x) \ sec ^ 2 x \ mathrm {d} x} {\ sqrt {\ tan x} (1+ \ tan ^ 2 x)} [/ matemáticas]

Deje [math] u ^ 2 = \ tan x [/ math] que implica [math] 2 u \ mathrm {d} u = \ sec ^ 2x \ mathrm {d} x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ int \ frac {1 + u ^ 2} {1 + u ^ 4} \ mathrm {d} u [/ math]

Divide [matemáticas] u ^ 2 [/ matemáticas] en el numerador y el denominador.

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ int \ frac {1+ \ frac {1} {u ^ 2}} {u ^ 2 + \ frac {1} {u ^ 2}} \ mathrm {d} u [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ int \ frac {1+ \ frac {1} {u ^ 2}} {\ left (u- \ frac {1} {u} \ right) ^ {2} +2} \ matemáticas {d} u [/ matemáticas]

Sea [math] v = u- \ frac {1} {u} [/ math] que implica [math] \ mathrm {d} v = 1+ \ frac {1} {u ^ 2} \ mathrm {d} u [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 2 \ int \ frac {1} {v ^ 2 + 2} \ mathrm {d} v [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {2} \ arctan \ left (\ frac {v} {\ sqrt {2}} \ right) + C [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sqrt {2} \ arctan \ left (\ frac {\ tan x -1} {\ sqrt {2 \ tan x}} \ right) + C [/ math]

Answer 4

Evaluar:

[matemáticas] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} \, dx [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ sqrt {\ tan x} + \ frac {1} {\ sqrt {\ tan x}} \, dx [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ frac {\ tan x + 1} {\ sqrt {\ tan x}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {\ sin x \ cos x}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {2 \ sin x \ cos x}} \, dx [ /matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {\ sin 2x}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {1 + \ sin 2x – 1}} \, dx [ /matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {1 – (1 – \ sin 2x)}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {1 – (\ sin x – \ cos x) ^ 2 }} \, dx [/ math]

Sustituya [math] \ large \ displaystyle \ sin x – \ cos x = \ large \ displaystyle t [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle (\ sen x + \ cos x) dx = \ large \ displaystyle dt [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 – t ^ 2}} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} \ sin ^ {- 1} (t) + C [/ math]

Convertir de nuevo a variable original:

[math] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ boxed {\ sqrt {2} \ sin ^ {- 1} (\ sin x – \ cos x) + C} [/ math]

Answer 5

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} \, \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ sqrt {\ sin x}} { \ sqrt {\ cos x}} + \ dfrac {\ sqrt {\ cos x}} {\ sqrt {\ sin x}} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {\ sin x \ cos x}} \ mathrm dx \\ & = \ sqrt2 \ int \ dfrac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {2 \ sin x \ cos x}} \ mathrm dx \\ & = \ sqrt2 \ int \ dfrac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {1 + 2 \ sin x \ cos x-1}} \ mathrm dx \\ & = \ sqrt2 \ int \ dfrac {\ sin x + \ cos x} {\ sqrt {1- (1-2 \ sin x \ cos x)}} \ mathrm dx \\ & = \ sqrt2 \ int \ dfrac {\ mathrm d (\ sin x- \ cos x)} { \ sqrt {1 – (\ sin x- \ cos x) ^ 2}} \\ & = \ sqrt2 \ arcsin (\ sin x- \ cos x) + C \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

Answer 6

Usando WolframAlpha

Answer 7

Primero cambie Tan y Cot a Sin y Cos, luego proceda como se muestra.