Probar que una secuencia no converge es mucho más difícil que demostrar que una secuencia converge. Eso es porque queremos probar todos los límites posibles. Concretamente, queremos mostrar:
[matemática] \ forall l \ in \ mathbb R, \ exist \ varepsilon \ gt0, \ forall n_0 \ in \ mathbb N, \ exist n \ ge n_0: \ left | \ frac {1} {n \ sin (n) } -l \ right | \ gt \ varepsilon [/ math]
Así es como se ve la gráfica de [math] x \ to \ dfrac {1} {x \ sin (x)} [/ math]:
- ¿Puedes demostrar que la función inversa de f (x) = (a-bx) / (cx + d) es (a-dx) / (cx + b)?
- ¿En qué intervalos la función [matemáticas] f (x) = – 5 (x + 2) (x-2) (x + 4) [/ matemáticas] aumenta, disminuye y permanece constante?
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- Cómo resolver esto: [matemáticas] \ int \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x} \ dx [/ matemáticas]
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Claro, [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ frac 1n = 0 [/ math], pero este es nuestro problema: [math] \ sin (n) [/ math] estará tan cerca de 0 como queremos, y eso es porque [matemática] \ pi [/ matemática] es irracional y [matemática] \ sin [/ matemática] es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] periódica.
La pregunta es: cuando [math] n [/ math] está cerca de algunas [math] k \ pi [/ math], ¿qué tan grande es [math] \ dfrac {1} {sin (n)} [/ math]? Si es aproximadamente [matemática] n [/ matemática], entonces hemos ganado: la proporción [matemática] \ dfrac {1} {n \ sin (n)} [/ matemática] estará alrededor de la constante 1. El truco es para encontrar una subsecuencia adecuada.
Supongamos que tomamos [math] \ displaystyle \ left (\ frac {p_n} {q_n} \ right) _ {n \ in \ mathbb N} \ in \ mathbb Q ^ {\ mathbb N} [/ math] para que [math ] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {p_n} {q_n} = 2 \ pi [/ math]
Entonces [math] p_n = 2 \ pi q_n + q_n \ varepsilon (n) [/ math] con [math] \ varepsilon [/ math] alguna secuencia cuyo límite es 0. Obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {p_n \ sin (p_n)} = \ frac {1} {p_n \ sin (q_n \ varepsilon (n))} [/ math]
Nueva pregunta: ¿tenemos [math] \ displaystyle \ lim q_n \ varepsilon (n) = 0 [/ math], y si es así, [math] \ displaystyle \ lim \ frac {1} {p_n \ sin (q_n \ varepsilon (n))} \ not = 0 [/ math]?
¿Cómo podríamos saberlo? No tenemos ninguna información sobre qué tan rápido [math] \ varepsilon (n) [/ math] pasa a 0 con respecto a [math] p_nq_n [/ math].
Aquí está la clave : primero mostraremos que la serie no puede converger hacia un límite diferente a 0, luego mostraremos que no converge hacia 0.
Suponga que [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ frac {1} {n \ sin (n)} = l \ not = 0 [/ math]
Entonces [math] \ lim_ {n \ to + \ infty} n \ sin (n) = \ frac {1} {l} [/ math] y concluimos:
[math] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sin (n) = 0 [/ math], lo cual es absurdo porque [math] \ {\ sin (n): n \ in \ mathbb N \} [/ matemáticas] es denso en [matemáticas] [- 1,1] [/ matemáticas]
Ahora suponga [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ frac {1} {n \ sin (n)} = 0 [/ matemáticas]
El teorema sobre aproximación de números reales, aquí [math] \ pi [/ math], asegura que:
[matemáticas] \ displaystyle \ forall N \ in \ mathbb N, \ exist p, q \ in \ mathbb N: 0 \ lt q \ pi-p \ lt \ frac {1} {N} \ \ text {y} \ q \ en [| 1, N |] [/ matemáticas]
¡Casi estámos allí!
[matemáticas] \ displaystyle \ left | p \ sin (p) \ right | = \ left | p \ sin (q \ pi-p) \ right | \ le \ frac {p} {N} \ le \ frac {p } {q} \ rightarrow \ pi [/ math]
Sigue: [matemáticas] \ displaystyle \ left | \ frac {1} {p \ sin (p)} \ right | \ ge \ frac {1} {\ pi} [/ math] asintóticamente, lo cual es absurdo.
Whehw
Editar: Acabo de notar los detalles de la pregunta … Lo siento, no respondí tu pregunta. Al menos espero ser comprensible. Editaré nuevamente si encuentro otra forma