Encontraremos que [matemáticas] f (x) = -5 (x + 2) (x – 2) (x + 4) [/ matemáticas] es una función cúbica. Esto se puede encontrar a través de la expansión, o al notar que hay tres términos con x en ellos, multiplicados juntos. A través de la expansión:
[matemáticas] -5 (x + 2) (x – 2) (x + 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] = – 5 (x ^ 2 – 4) (x + 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] = – 5 (x ^ 3 + 4x ^ 2-4x + 16) [/ matemáticas]
[matemáticas] = – 5x ^ 3 – 20x ^ 2 + 20x – 80 [/ matemáticas]
El grado del polinomio (la potencia más alta) es 3, por lo tanto, es cúbico.
Podemos ver que el coeficiente del término principal es negativo, por lo tanto, antes (a la izquierda de) el primer punto de inflexión, la función está disminuyendo. Como es cúbico, después (a la derecha de) el último punto de inflexión, la función continuará como estaba originalmente, por lo que disminuirá.
Como dijo Quora User, necesitamos derivar la función, ya que esto nos dará la función de gradiente. Cuando el gradiente es cero, la función ha alcanzado un punto de inflexión. Derivando la función:
[matemáticas] f (x) = -5x ^ 3 – 20x ^ 2 + 20x + 80 [/ matemáticas]
[matemática] f ‘(x) = -15x ^ 2 – 40x + 20 [/ matemática]
Al dejar que la función de gradiente [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática],
[matemáticas] 0 = -15x ^ 2 – 40x + 20 [/ matemáticas]
Esto es cuadrático, por lo que la ecuación tiene dos soluciones. Esto significa que el cúbico original tiene dos puntos de inflexión. Podemos resolver la cuadrática usando la fórmula cuadrática, [matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]. [matemática] a = -15, b = -40, c = 20 [/ matemática], de modo que al conectarla a la ecuación,
[matemática] x = \ frac {- (- 40) \ pm \ sqrt {(- 40) ^ 2-4 (-15) (20)}} {2 (-15)} [/ matemática]
Si lo resolvemos, obtenemos aproximadamente [matemáticas] x = -3.097 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 0.431 [/ matemáticas].
Esto significa que en [matemáticas] x = -3.097 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 0.431 [/ matemáticas], la función permanece constante. Por lo que dije antes, eso significa que para [matemáticas] x <-3.097 [/ matemáticas] y [matemáticas] x> 0.431 [/ matemáticas], la función disminuye, y para [matemáticas] -3.097
También podemos verificar haciendo algo llamado encontrar la segunda derivada, derivando básicamente la derivada, para encontrar la “naturaleza” de los puntos de inflexión. La naturaleza de un punto de inflexión es básicamente si es un mínimo o un máximo, o si los valores de y de los puntos inmediatamente próximos a ellos son más bajos o más altos que el punto de inflexión mismo. Si derivamos la derivada:
[matemática] f ‘(x) = -15x ^ 2 – 40x + 20 [/ matemática]
[matemáticas] f ” (x) = -30x – 40 [/ matemáticas]
Podemos dejar que x sea el punto de inflexión para encontrar la naturaleza.
[matemáticas] \ text {Let} x = -30.097 [/ matemáticas]
[matemáticas] f ” (- 30.97) = -30 (-30.097) – 40 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 902.91 – 40 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 862.91 [/ matemáticas]
La segunda derivada es positiva, por lo que esto significa que el punto de inflexión cóncavo hacia arriba o que los puntos inmediatamente próximos a los puntos de inflexión son más altos que el punto de inflexión mismo. Esto significa que el punto de inflexión es mínimo. De esto podemos inferir que antes del punto de inflexión, la función disminuye al mínimo, y después del punto de inflexión, la función vuelve a aumentar.
Encontremos el otro punto de inflexión.
[matemáticas] \ text {Let} x = 0.431 [/ matemáticas]
[matemática] f ” (0.431) = -30 (0.431) – 40 [/ matemática]
[matemáticas] = -12.93 – 40 [/ matemáticas]
[matemáticas] = -52.93 [/ matemáticas]
La segunda derivada es negativa, por lo que el punto de inflexión es un máximo. La función aumenta al máximo antes del punto de inflexión y disminuye después.
Y obviamente hay un gráfico, donde puedes ver los intervalos con bastante claridad.
