Considere la siguiente función: [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – \ sin {x} [/ matemáticas].
Asumiré que estamos considerando valores reales , es decir , [math] x \ in \ mathbb R [/ math]. Deseamos encontrar todas las raíces de esta función [matemática] f (x) [/ matemática], es decir , los valores de [matemática] x [/ matemática] para los cuales [matemática] f (x) = 0 [/ matemática].
Encontrar las raíces de esta función no cederá ante los métodos algebraicos. La respuesta podría expresarse en términos de funciones trascendentales apropiadas, pero también podemos investigar las raíces con un poco de análisis.
Tenga en cuenta que el rango de [math] \ sin {x} [/ math] es [math] [- 1,1] [/ math], por lo que cualquier raíz de [math] f (x) [/ math] debe estar en el rango [matemática] [- 1,1] [/ matemática], porque cuando [matemática] x> 1 [/ matemática] o [matemática] x 1> \ left \ lvert \ sin {x} \ right \ rvert [/ math] por lo que [math] x ^ 2 – \ sin {x} [/ math] no puede ser cero fuera de este rango.
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Contando las raices
Tenga en cuenta que [math] f (x) \ to \ infty [/ math] como [math] x \ to \ infty [/ math] y también como [math] x \ to – \ infty [/ math]. La función es continua y diferenciable en todas partes, por lo que debe llegar a un valor mínimo para algún valor de [math] x [/ math], y en este punto [math] f ‘(x) = 0 [/ math]. Puede haber otros puntos estacionarios si [math] f ‘(x) [/ math] tiene múltiples raíces, así que examinemos la primera y la segunda derivada.
[matemáticas] f ‘(x) = 2x – \ cos {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ” (x) = 2 + \ sin {x} [/ matemáticas]
Ya notamos que el rango de [math] \ sin {x} [/ math] es [math] [- 1,1] [/ math], entonces [math] f ” (x) \ ge 1 [/ math ] en todas partes y, por lo tanto, no tiene raíces. Esto significa que [math] f ‘(x) [/ math] está aumentando monotónicamente y, por lo tanto, solo puede tener una raíz, digamos [math] x _ {\ text {min}} [/ math]. Observe que [matemática] f ‘(0) = -1 0 [/ matemática], entonces la raíz [matemática] x _ {\ text {min}} [/ math] se encuentra entre [math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ math] y está en [math] x _ {\ text {min}} [/ math] que [math] f (x) [/ math] alcanza su valor mínimo.
Como no hay otras raíces de [math] f ‘(x) [/ math] no hay otros puntos estacionarios de [math] f (x) [/ math], entonces [math] f (x) [/ math] debe estar disminuyendo monotónicamente para [matemática] x x _ {\ text {min}} [/ matemática]. Por lo tanto, habrá exactamente dos raíces de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] si [matemáticas] f (x _ {\ text {min}}) 0 [/ math], y habrá solo una raíz (y será [math] x _ {\ text {min}} [/ math]) if [math] f (x _ {\ text {min}}) = 0 [/ math].
Observamos que [matemáticas] f \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ frac {1} {4} – \ sin {\ frac {1} {2}} \ aprox -0.229 <0 [ / math], por lo que hay dos raíces para encontrar, una en cada lado del mínimo en [math] x _ {\ text {min}} [/ math].
Encontrar las raíces
Observamos por inspección que [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas], por lo que esta es una de las raíces. Sabemos que [matemática] x _ {\ text {min}}> 0 [/ matemática] y [matemática] f (1)> 0 [/ matemática], por lo que la segunda raíz debe estar en el intervalo [matemática] (x_ { \ text {min}}, 1) [/ math].
Podemos usar un método como Newton-Raphson para localizar la segunda raíz. Para aplicar Newton-Raphson, comenzamos con un valor ‘adivinar’ [matemática] x_0 [/ matemática], luego calculamos [matemática] x_ {k} = x_ {k-1} – \ frac {f (x_ {k- 1})} {f ‘(x_ {k-1})} [/ math] para [math] k = 1, 2, 3, \ dots [/ math] hasta que hayamos localizado la raíz con la suficiente precisión.
Para encontrar la segunda raíz, comencemos con [math] x_0 = 1 [/ math] ya que podemos estar seguros de que esto se encuentra en el mismo lado de [math] x _ {\ text {min}} [/ math] como segunda raíz, y podemos ubicarnos en la segunda raíz desde allí.
- [matemáticas] x_0 = 1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_1 = 1 – \ frac {0.15852902} {1.45969769} \ aprox. 0.89139599 [/ matemáticas]
- [matemática] x_2 = 0.89139599 – \ frac {0.016637168} {1.15446535} \ aprox 0.87698484 [/ matemática]
- [matemáticas] x_3 = 0.87698484 – \ frac {0.00028814389} {1.11449753} \ aprox. 0.87672630 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_4 = 0.87672630 – \ frac {0.000000094231422} {1.11378171} \ aprox 0.87672622 [/ matemáticas]
- [matemática] x_5 = 0.87672622 – \ frac {0.000000005128894} {1.11378149} \ aprox 0.87672622 [/ matemática]
- [matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]
Entonces [math] f (x) [/ math] tiene dos raíces que son [math] \ boxed {x = 0 \ text {and} x \ approx 0.8767} [/ math]