Cómo resolver la siguiente ecuación del sistema (para x, y, z): [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + xy = a ^ 2, y ^ 2 + z ^ 2 + yz = b ^ 2, z ^ 2 + x ^ 2 + xz [/ matemáticas] [matemáticas] = c ^ 2

Answer 1

La clave es visualizar el hecho de que,

La declaración [matemáticas] y [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 2 + z ^ 2 + zy = b ^ 2 [/ matemáticas] es equivalente a:

Existe un triángulo con lados [matemática] y [/ matemática], [matemática] z [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] con un ángulo de [matemática] 120 ^ {\ circ} [/ matemática] b / w los lados [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática].

Podemos hacer lo mismo con las otras dos ecuaciones para construir un triángulo [matemático] ABC [/ matemático] con el punto de Fermat [matemático] P. [/ matemático]

Hay una buena manera de calcular [matemáticas] x + y + z [/ matemáticas]. Construya [matemática] X [/ matemática] en el lado opuesto de [matemática] \ overline {BC} [/ matemática] de [matemática] P [/ matemática] para que el triángulo [matemática] XBC [/ matemática] sea equilátero. Como [math] \ angle BPC [/ math] y [math] \ angle CXB [/ math] son ​​suplementarios, el cuadrilátero [math] XBPC [/ math] es cíclico:

Claramente

[matemáticas] z + y = PC + PB = PX [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + y + z = AX [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AX ^ 2 BC ^ 2 = AB ^ 2 XC ^ 2 + AC ^ 2 XB ^ 2 – 2 (AB) (BX) (XC) (CA) cos (A + X) [/ matemáticas]

Ahora tenemos que calcular el valor de [math] cos (A + X) [/ math]

[matemáticas] cos (A + X) = cos (A) cos (X) – sin (A) sin (X) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica cos (A) \ frac {\ sqrt 3} {2} – sin (A) \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Para el valor de [math] cos (A) [/ math] aplique la ley de cosenos en el triángulo [math] ABC [/ math],

[matemáticas] cos (A) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 – b ^ 2} {2ac} [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (A) = \ sqrt {1 – cos ^ 2 (A)} [/ matemáticas]

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Como puede ver, resolver para [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] no es imposible, pero es demasiado largo para resolver sin los valores reales de [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas] .

Sin embargo, aquí está el algoritmo general a seguir,

1. Calcule el valor de [math] AX = (x + y + z) [/ math]
2. Agrega todas las ecuaciones originales
3. Resuelve los resultados obtenidos simultáneamente
4. Obtenga los valores de [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática].

También puede referirse a un problema similar aquí para practicar,

http://chmmc.caltech.edu/archive…

Notas al pie:

Los teoremas de Van Schooten y Pompeiu

Cuadrilátero – Wikipedia

Punto Fermat – Wikipedia

Answer 2

Se nos dan 3 ecuaciones y 6 incógnitas ([matemática] x, y, z, a, b, c [/ matemática]) por lo que es imposible de resolver, hay una cantidad infinita de soluciones como [matemática] a, b, c [/ math] puede ser cualquier número (suponiendo real).

Asumiré al azar que de alguna manera estamos siguiendo el Teorema de Pitágoras, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

Incluso entonces, solo tenemos 3 ecuaciones con 6 incógnitas, y esta cuarta ecuación no nos ayudará, ya que tendremos 4 ecuaciones y 6 incógnitas. Si sustituimos [matemáticas] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ matemáticas] obtenemos 1 ecuación con 3 incógnitas.

[matemáticas] z ^ 2 + x ^ 2 + xz = x ^ 2 + y ^ 2 + xy + y ^ 2 + z ^ 2 + yz [/ matemáticas]

Podemos cancelar [math] x ^ 2 [/ math] y [math] z ^ 2 [/ math] desde ambos lados para dar:

[matemáticas] xz = y ^ 2 + xy + y ^ 2 + yz [/ matemáticas]

[matemáticas] xz = y (2y + x + z) [/ matemáticas]

Realmente no puedes ir a ningún lado desde aquí …