[matemáticas] x ^ x = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ x – 3 = 0 [/ matemáticas]
Primero, si usa la calculadora TI-84, hay un método que le proporcionará una aproximación más precisa que la representación gráfica. Eso está usando la función de tabla.
Aún debe presionar el botón [y =] y establecer la función en [matemáticas] x ^ x – 3 [/ matemáticas].
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Después de eso, debe modificar la configuración de la tabla. Para hacerlo, presione la tecla [2nd] y luego presione [window] para elegir la opción tblset que se encuentra sobre ella. Sugeriría establecer TblStart en 1, porque parece que la respuesta está entre 1 y 2. En cuanto a [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math], comenzaría con eso como 0.1 Dejaría los otros 2 configuraciones como Auto.
Después de configurar la función y = y la configuración de la tabla, podemos comenzar. Presione la tecla [2nd], luego presione [graph] para elegir la opción de tabla que se encuentra arriba.
Verá que la calculadora genera una tabla de valores de función, donde el primer valor es para x = 1, luego x = 1.1, etc.
Esto se basa en la configuración, TblStart es el primer valor de X para el que genera la tabla, el [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] determina qué tan grandes son los pasos de X en la tabla.
Al desplazarse hacia abajo, verá que lo más cercano a 0 ocurre cuando x = 1.8, y = -0.119
Pero dije que esto daría valores más precisos que los gráficos ¿verdad? Así es como lo hacemos. Resalte el 1.8 en la tabla, luego presione el botón + en la calculadora (el que usa para realizar la suma). En la parte inferior de la pantalla, le pedirá que ingrese un valor diferente para [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math]. Elija una más pequeña para poder acercarnos a la respuesta.
Elegí el siguiente valor de [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] como 0.01
Eso genera automáticamente una nueva tabla, esta va de 1.8 a 1.81 a 1.82, etc. En esta nueva tabla, lo más cercano a 0 ocurre cuando x = 1.83, y = 0.0219
Ahora seleccionaré 1.83 en la tabla, presionar más y cambiar el [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] nuevamente a 0.001
En esta nueva tabla, los valores parecen ir más y más lejos de 0, así que cuando el cursor esté en la columna X, desplácese hacia arriba. A medida que se desplaza hacia arriba, actualizará la tabla según sea necesario para los valores más bajos de X. Los valores más cercanos parecen estar en x = 1.826 ox = 1.827
Para ver cuál es realmente el más cercano, necesitaremos examinar los valores de y más de cerca. Por lo tanto, mueva el cursor hacia la derecha para que quede en la columna Y. Si observa la parte inferior de la pantalla, mostrará más dígitos del valor de Y. Eso muestra que cuando x = 1.825, y = -0.0021856404331 y cuando x = 1.826, y = 0.0026202683733
El primero de ellos es el más cercano, por lo que es el que elegiré para proceder. Muevo mi cursor hacia la izquierda para que quede en la columna X y resalto x = 1.825, luego presiono + y cambio [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] nuevamente a 0.0001
x = 1.8254, y = -2.643978573E-4 yx = 1.8255, y = 2.161462367E-4, selecciono x = 1.8255 y presiono +, pero cuando presiono +, no muestra 0.0001, sino que muestra 1E -4. Esta es una representación de la notación científica, el número antes de la E es el número multiplicado por el 10, el número después de la E es el exponente de la 10. Por lo tanto, 1E-4 es lo mismo que [matemáticas] 1 \ cdot 10 ^ {- 4} [/ math], que es equivalente a 0.0001
Por lo tanto, cambio el -4 a -5 y continúo. El proceso de aquí en adelante no debería requerir descripciones adicionales, pero continuaré y describiré el proceso de todos modos.
Después de desplazarse hacia arriba, x = 1.82545 (recuerde mirar la parte inferior de la pantalla para ver los dígitos adicionales), y = -2.41374864E-5 yx = 1.82546, y = 2.39173899E-5 selecciono x = 1.82546, luego I cambie [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] a 1E-6.
Después de desplazarse hacia arriba, x = 1.825455, y = -1.101649E-7 yx = 1.825456, y = 4.6953273E-6 Elijo x = 1.825455 y cambio [matemática] \ Delta \ text {Tbl} [/ matemática] a 1E- 7 7
x = 1.825455, y = -1.101649E-7 yx = 1.8254551, y = 3.703838E-7 Elijo x = 1.825455 nuevamente y cambio [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] a 1E-8
x = 1.82545502, y = -1.40552E-8 yx = 1.82545503, y = 3.39997E-8 Elijo x = 1.82545502 y cambio [matemática] \ Delta \ text {Tbl} [/ matemática] a 1E-9
x = 1.825455022, y = -4.4443E-9 yx = 1.825455023, y = 3.612E-10 Elijo x = 1.825455023 y cambio [math] \ Delta \ text {Tbl} [/ math] a 1E-10
x = 1.8254550229, y = -1.194E-10 yx = 1.825455023, y = 3.612E-10 Elijo x = 1.8254550229 y cambio [matemática] \ Delta \ text {Tbl} [/ matemática] a 1E-11
x = 1.82545502292, y = -2.32E-11 yx = 1.82545502293, y = 2.49E-11 Elijo x = 1.82545502292 y cambio [matemática] \ Delta \ text {Tbl} [/ matemática] a 1E-12
Tenga en cuenta que esta vez hay un valor que da 0 en la tabla, esto significa que la calculadora no tiene suficiente precisión para aproximarse más. Por lo tanto, nuestra mejor aproximación es:
x = 1.825455022925
Si lo desea, puede volver al modo de calculadora principal y ver cómo se calcula ese número elevado.
En la TI-84: [matemática] 1.825455022925 ^ {1.825455022925} = 3 [/ matemática]
Esta descripción es muy extensa debido a los detalles que utilicé, pero la velocidad de hacerlo es bastante rápida, podría hacerlo en probablemente 20 segundos si me limitaran el tiempo.
Sin embargo, esta no es una respuesta de precisión completa, esta es solo la mayor precisión que la TI-84 es capaz de aproximar.
Si amas la precisión como a mí, puedes optar por utilizar una herramienta informática para aumentar la precisión. El programa que me gusta usar es la Calculadora precisa – calculadora científica programable
Para obtener más precisión usando esa calculadora, puede usar el método Newton-Raphson. Método de Newton – Wikipedia
Queremos encontrar:
[matemáticas] x ^ x – 3 = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, la función de la que queremos encontrar los ceros es:
[matemáticas] f (x) = x ^ x – 3 [/ matemáticas]
Para encontrar los ceros de una función utilizando el método Newton-Raphson, primero debe elegir una suposición que esté algo cerca del cero que está buscando. Para esta función, la suposición no tiene que ser extremadamente cercana, podría comenzar con 1 o 2, pero comenzaré con la buena aproximación que obtuve de mi calculadora, [math] x_0 = 1.825455022925 [/ math].
Hay un subíndice 0 porque este es un proceso iterativo, cuantas más iteraciones haga, más preciso será.
Para realizar las iteraciones, utiliza esta fórmula:
[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]
Para aplicar eso, necesitamos tomar la derivada.
[matemáticas] f (x) = x ^ x – 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} f (x) = \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} (x ^ x – 3) [ /matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ x [/ matemáticas]
Probablemente ya esté familiarizado con esta derivada, pero en caso de que no lo esté, definiré [matemática] y = x ^ x [/ matemática]
Esto utiliza la diferenciación logarítmica.
[matemáticas] \ ln y = \ ln x ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln y = x \ ln x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ ln y = \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} x} x \ ln x [/ math]
Usando la regla de la cadena a la izquierda y la regla del producto a la derecha:
[matemáticas] \ dfrac {1} {y} y ‘= \ ln x + x \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {y} y ‘= \ ln x + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y (\ ln x + 1) [/ matemáticas]
Recuerde que [matemáticas] y = x ^ x [/ matemáticas], por lo tanto:
[matemáticas] y ‘= x ^ x (\ ln x + 1) [/ matemáticas]
Por lo tanto, retrocediendo en términos de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] f ‘(x) = x ^ x (\ ln x + 1) [/ matemáticas]
Ahora podemos aplicar esto para usar el método Newton-Raphson:
[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {{x_n} ^ {x_n} – 3} {{x_n} ^ {x_n} (\ ln x_n + 1)} [/ matemáticas]
Usando la calculadora que mencioné anteriormente, puedo definir una variable para contener los valores iterativos de x. Decidí llamarlo realmente x, así que comencé en la calculadora ingresando:
x = 1.825455022925
Después de configurar esa variable, hice lo siguiente:
x = x – (x ^ x – 3) / (x ^ x * (ln x + 1))
Establecí la precisión en la calculadora en 1000, porque más alta que eso da como resultado cálculos lentos.
Luego, seguí haciendo clic donde estaba mi entrada y presionando enter repetidamente hasta que la salida permaneció igual. Luego aumenté la precisión a 2000 y volví a calcular. Seguido por una precisión de 4000, 8000, 16000, etc., siempre que esté dispuesto a obtener precisión. Después de calcular la respuesta con una precisión de 16000, parecía que la aproximación era buena para 8000 dígitos. Son demasiados dígitos para enumerar en mi respuesta, pero pondré esos 8000 dígitos como un comentario a mi respuesta para aquellos que tengan curiosidad.