Cómo integrar [matemáticas] \ int_ {0} ^ {1} {log (x) \: dx \ over 1 + x} [/ matemáticas] de cero a uno

Answer 1

Usa la transformación Mellin para resolver el problema. La transformación mellin de una función se define como:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} t ^ {p-1} f (t) \, dt [/ math ]

Es bien sabido que:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ t + 1} \ right \} = \ left (1-2 ^ {1-p} \ right) \ Gamma (p) \ zeta (p) \ tag * {(1)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln x} {1 + x} \, dx [/ math]

Sustituya [matemáticas] x = e ^ {- t} [/ matemáticas] para observar,

[matemáticas] \ displaystyle I = – \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {t} {e ^ t + 1} \, dt [/ math]

[matemáticas] = – (1-2 ^ {- 1}) \ Gamma (2) \ zeta (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {I = – \ dfrac {\ pi ^ 2} {12}} \ tag * {} [/ matemáticas]

---

Prueba del resultado anterior:

Considerar:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ x-1} \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} \ dfrac {1} {e ^ x-1} \, dx [/ math]

Para evaluar esto, utilizamos el siguiente resultado Infinite GP:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- nx} = \ dfrac {1} {1-e ^ {- x}} = \ dfrac {e ^ x} {e ^ x – 1} [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] observamos,

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {e ^ x – 1} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {- nx}} {e ^ x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- (n + 1) x} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- nx} [/ math]

Por lo tanto, nuestra transformación Mellin se simplifica como,

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ x-1} \ right \} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ { \ infty} x ^ {p-1} e ^ {- nx} \, dx = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {\ Gamma (p)} {n ^ p} = \ Gamma ( p) \ zeta (p) \ tag * {(2)} [/ math]

Del mismo modo, también podemos demostrar que:

[matemáticas] \ matemáticas {M} \ left \ {\ dfrac {2} {e ^ {2x} -1} \ right \} = 2 ^ {1-p} \ Gamma (p) \ zeta (p) \ tag * {(3)} [/ matemáticas]

Ahora usando

[matemáticas] \ dfrac {1} {e ^ {x} – 1} – \ dfrac {1} {e ^ x + 1} = \ dfrac {2} {e ^ {2x} – 1} [/ matemáticas] el resultado anterior [math] (1) [/ math] sigue.

Answer 2

Mi hermano Aadit Pandey ya lo ha hecho de una manera muy simple y elegante, así que simplemente jugaré con él y veré si puedo encontrar algún otro enfoque.

Entonces tenemos [matemática] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {\ ln x} {1 + x} \ text {d} x [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} \ ln (1 + x) = u [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ frac {\ text {d} x} {1 + x} = \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {También} x = e ^ {u} -1 [/ matemáticas]

[matemática] \ text {Cuando} x \ rightarrow 0, u \ rightarrow 0 [/ math]

[matemática] x \ rightarrow 1, u \ rightarrow \ ln 2 [/ math]

Por brevedad, primero haré la integral indefinida y luego pondré el límite.

Entonces [math] \ text {Let} I ^ {\ prime} = \ displaystyle \ int \ ln (e ^ {u} -1) \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {Integrando por partes obtenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] I ^ {\ prime} = u \ ln (e ^ {u} -1) – \ displaystyle \ int \ left (\ frac {\ text {d}} {\ text {d} u} (\ ln (e ^ u-1)) \ displaystyle \ int \ text {d} u \ right) \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] = u \ ln (e ^ u-1) – \ displaystyle \ int \ frac {ue ^ u} {e ^ u-1} \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {Let} m = e ^ u \ Rightarrow \ text {d} m = e ^ u \ text {d} u [/ math]

[matemáticas] \ text {También} u = \ ln m [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I ^ {\ prime} = u \ ln (e ^ u-1) – \ displaystyle \ int \ frac {\ ln m} {m-1} \ text {d} m [/ math]

[matemáticas] \ text {Ahora vamos} m = 1-w \ Rightarrow \ text {d} m = – \ text {d} w [/ math]

Entonces, [matemáticas] I ^ {\ prime} = u \ ln (e ^ u-1) – \ displaystyle \ int \ frac {\ ln (1-w)} {- w} – \ text {d} w [ /matemáticas]

[matemáticas] = u \ ln (e ^ u-1) + \ displaystyle \ int- \ frac {\ ln (1-w)} {w} \ text {d} w [/ math]

[matemáticas] = u \ ln (e ^ u-1) + \ text {Li} _ {2} (w) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = u \ ln (e ^ u-1) + \ text {Li} _ {2} (1-m) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = u \ ln (e ^ u-1) + \ text {Li} _ {2} (1-e ^ u) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {So} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ left [u \ ln (e ^ u-1) + \ text {Li} _ {2} (1-e ^ u) + c \ right] ^ {\ ln 2} _ {0} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ ln 2 \ ln (e ^ {\ ln 2} -1) + \ text {Li} _ {2} (1-e ^ {\ ln 2}) – 0- \ text {Li} _ {2} (1-e ^ 0) [/ matemáticas]

[matemática] = \ text {Li} _ {2} (- 1) + \ text {Li} _ {2} (0) [/ math]

[math] \ text {Ahora usando valores estándar obtenemos} [/ math]

[matemáticas] \ text {Li} _ {2} (- 1) = – \ frac {\ pi ^ {2}} {12} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Li} _ {2} (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] I = – \ frac {\ pi ^ {2}} {12} [/ matemáticas]

Cuál es el resultado obtenido por Aadit.

Nota: La función especial utilizada es la función de Spence.

https://www.google.co.in/url?sa=…

Por favor, rectifícame si estoy equivocado.

[matemáticas] \ text {¡salud!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {\ log {x}} {1 + x} dx = \ int_ {0} ^ {1} \ log {x} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ nx ^ n dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ n \ int_ {0} ^ {1} x ^ n \ log {x} dx [/ math]

Integrar por partes

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} x ^ n \ log {x} dx = [\ frac {\ log {x}} {n + 1} x ^ {n + 1}] _ {0 } ^ {1} – \ int_ {0} ^ {1} \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – [\ frac {1} {(n + 1) ^ 2} x ^ {n + 2}] _ {0} ^ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {(n + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ {n + 1} \ frac {1} {(n + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} – \ frac {1} {3 ^ 2} +… [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {\ pi ^ 2} {12} \ blacksquare [/ math] (** ver más abajo)

---

(**) Sabemos por el problema de Basilea – Wikipedia que

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {\ text {n even}} \ frac {1} {n ^ 2} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n) ^ 2 } = \ frac14 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {24} [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ displaystyle \ sum _ {\ text {n impar>} \ frac {1} {n ^ 2} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} – \ sum _ {\ text {n even}} \ frac {1} {n ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ pi ^ 2} {6} – \ frac {\ pi ^ 2} {24} = \ frac {\ pi ^ 2} {8} [/ matemáticas]

Requerimos: [matemática] \ displaystyle – \ sum _ {\ text {n impar}} \ frac {1} {n ^ 2} + \ sum _ {\ text {n even}} \ frac {1} {n ^ 2} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {\ pi ^ 2} {8} + \ frac {\ pi ^ 2} {24} = – \ frac {\ pi ^ 2} {12} [/ matemáticas] según sea necesario.

Answer 4

Usa una calculadora. Wolfram | Alpha funciona bien.

(Wolfram | Alpha también puede decirnos que la integral indefinida de [math] \ dfrac {\ log (x)} {1 + x} [/ math] es [math] F (x) = \ textrm {Li} _2 ( -x) + \ log (x) \ log (x + 1) [/ math], donde [math] \ textrm {Li} _2 (x) [/ math] es la función del pollogaritmo de orden 2. La integral definida de 0 a 1 es simplemente [matemática] F (1) -F (0) [/ matemática].