Si x ^ y = y ^ x, ¿qué es dy / dx?

Answer 1

Use diferencial en lugar de derivada.

[matemáticas] d (x ^ y) = d (e ^ {y \ cdot log (x)}) = e ^ {y \ cdot log (x)} d (y \ cdot log (x)) = (x ^ y) (dy \ cdot log (x) + y \ cdot d (log (x)) = (x ^ y) (log (x) dy + y / x \, dx) [/ math]

Simétricamente: [matemática] d (y ^ x) = (y ^ x) (log (y) \, dx + x / y \, dy). [/ Math]

Como [math] d (x ^ y) = d (y ^ x) [/ math], y simplificando por [math] x ^ y = y ^ x [/ math], obtenemos

[matemática] log (y) \, dx + x / y \, dy = log (x) dy + y / x \, dx. [/ math]

Eliminar los denominadores conduce a:

[matemática] xy \, log (y) \, dx + x ^ 2 \, dy = xy \, log (x) dy + y ^ 2 \, dx [/ math]

Que se puede reorganizar en

[matemáticas] (xy \, log (y) – y ^ 2) dx = (xy \, log (x) – x ^ 2) dy [/ math]

Y finalmente

[math] dy / dx = \ frac {xy \, log (y) – y ^ 2} {xy \ cdot log (x) – x ^ 2} [/ math]

Tenga en cuenta que el uso de diferenciales (en lugar de derivados) permite aprovechar al máximo las ventajas de la simetría de la ecuación.

Answer 2

Será más fácil trabajar con él si tomamos registros naturales de ambos lados y simplificamos:

[matemáticas] \ ln (x ^ y) = \ ln (y ^ x) \ qquad \ rightarrow \ qquad y \ ln (x) = x \ ln (y) [/ math]

Ahora usamos la diferenciación implícita, tomando derivadas de ambos lados con respecto a x:

[matemáticas] y ‘\ ln (x) + y \ cdot \ frac {1} {x} = 1 \ cdot \ ln (y) + x \ cdot \ frac {y’} {y} [/ math]

Resolviendo para [matemáticas] y ‘[/ matemáticas]:

[matemáticas] y ‘\ ln (x) – \ frac {xy’} {y} = \ ln (y) – \ frac {y} {x} [/ matemáticas]

implica que

[matemáticas] y ‘= \ frac {\ ln (y) – \ frac {y} {x}} {\ ln (x) – \ frac {x} {y}} = \ frac {xy \ ln (y) -y ^ 2} {xy \ ln (x) -x ^ 2} [/ math]

Answer 3

[matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (x ^ y) = \ ln (y ^ x) [/ matemáticas]

[matemáticas] y \ ln (x) = x \ ln (y) [/ matemáticas]

[matemática] \ mathrm d (y \ ln (x)) = \ mathrm d (x \ ln (y)) [/ math]

[matemáticas] \ ln (x) \, \ mathrm dy + y \, \ mathrm d \ ln (x) = \ ln (y) \, \ mathrm dx + x \, \ mathrm d \ ln (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (x) \, \ mathrm dy + \ dfrac {y} {x} \, \ mathrm dx = \ ln (y) \, \ mathrm dx + \ dfrac {x} {y} \, \ mathrm dy [/matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ ln (x) – \ dfrac {x} {y} \ right) \, \ mathrm dy = \ left (\ ln (y) – \ dfrac {y} {x} \ right) \ , \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] \ mathrm dy = \ dfrac {\ ln (y) – \ dfrac {y} {x}} {\ ln (x) – \ dfrac {x} {y}} \, \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {\ dfrac {x \ ln (y)} {x} – \ dfrac {y} {x}} {\ dfrac {y \ ln ( x)} {y} – \ dfrac {x} {y}} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {\ dfrac {x \ ln (y) -y} {x}} {\ dfrac {y \ ln (x) -x} {y }}[/matemáticas]

[matemática] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {y (x \ ln (y) -y)} {x (y \ ln (x) -x)} [/ math]

Answer 4

[matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] y (logx) = x log (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {y} {logy} = \ frac {x} {logx} [/ math]

diferenciando ambos lados

[matemáticas] \ frac {y ‘(logy – 1)} {(logy) ^ 2} = \ frac {logx – 1} {(logx) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] y ‘= \ left (\ frac {logx – 1} {(logx) ^ 2} * (logy) ^ 2 \ right) / (logy -1) [/ math]

Answer 5

La ecuación en su pregunta en realidad define dos funciones diferentes:

Uno, que podría expresarse explícitamente. es el trivial, a saber, y = x, y a lo largo de ese, la respuesta a su pregunta es claramente y ‘= 1.

La segunda es una función implícita y = y (x) que no podemos describir explícitamente en términos de funciones elementales. Sin embargo, por un teorema bien conocido en el cálculo de funciones de varias variables, conocido como el Teorema de la función implícita, una vez que una función implícita y = f (x) viene dada por una ecuación de la forma F (x, y) = 0, donde F (x, y) es una función dada con derivadas parciales continuas con respecto a ambas variables x e y, y su derivada parcial con respecto a y no se desvanece en un punto (a, b) que satisface F (a, b) = 0, es decir, f (a) = b, entonces la función implícita y = f (x) es diferenciable en x = a con derivada dada por:

y ‘(a) = – (dF (a, b) / dx) / (dF (a, b) / dy) (a, b) (donde dF (a, b) / dx y dF (a, b) / dy representando las 2 derivadas parciales de F (x, y) en (a, b))

En el caso del que estamos hablando, sería más fácil escribir la ecuación x ^ y = y ^ x como F (x, y) = y * log (x) -x * log (y) = 0. Entonces podemos aplicar fácilmente el Teorema de la función implícita a esa ecuación, y a cualquier punto (a, b) que satisfaga F (a, b) = 0 (es decir, a ^ b = b ^ a), siempre que ayb sean desiguales (p. ej. a = 2, b = 4), y desde

dF / dx (a, b) = b / a-log (b) = (ba * log (b)) / a = (bb * log (a)) / a = b * (1-log (a) / una,

dF / dy (a, b) = log (a) -a / b = (b * log (a) -a) / b = (a * log (b) -a) / b = a * (log (b ) -1) / b

deducimos:

y ‘(a) = – ((b / a) ^ 2) * (1-log (a)) / (log (b) -1)

Por ejemplo, para a = 2, b = 4 se obtiene

y ‘(2) = – 4 * (1-log (2)) / (log (4) -1) = – 3.17739889912418….

Answer 6

Y lnx = x lny

Difundir ambos lados

Y / x + lnx. Y ‘= x / y. Y ‘+ lny

Y ‘= (xy.lny-Y ^ 2) ÷ (XY .lnx-x ^ 2)

Y ‘= (lnx-1) Y ^ 2 ÷ (lny-1) X ^ 2

Answer 7

Desea aislar los términos lo mejor posible para comenzar.

Comencemos por representar ambos lados en términos de potencias de e.

[matemáticas] e ^ {y \ ln x} = e ^ {x \ ln y} [/ matemáticas]

Esto a su vez significa:

[matemáticas] y \ ln x = x \ ln y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac y {\ ln y} = \ dfrac x {\ ln x} [/ matemáticas]

Derivar implícitamente.

[matemáticas] d (\ dfrac y {\ ln y}) = d (\ dfrac x {\ ln x}) [/ matemáticas]

[matemática] \ dfrac {1 \ ln y- \ frac yy} {(\ ln y) ^ 2} \; dy = \ dfrac {1 \ ln x- \ frac xx} {(\ ln x) ^ 2} \ ; dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ ln y-1} {(\ ln y) ^ 2} \; dy = \ dfrac {ln x-1} {(\ ln x) ^ 2} \; dx [/ math]

Y a partir de ahí la cruz se multiplica y divide.

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {(\ ln x-1) (\ ln y) ^ 2} {(\ ln y-1) (\ ln x) ^ 2} [/ matemáticas]

A partir de ahí, una vez que tenga valores válidos para x e y, conéctelos. Sabemos que x = y es un conjunto de soluciones válido, por lo que podemos enchufar esos valores y obtener la derivada de y sobre x igual a 1 en ese conjunto de soluciones, por ejemplo.

Answer 8