Cómo determinar el conjunto de enteros n para los cuales n ^ 2 + 19n + 192 es un cuadrado perfecto

Answer 1

Creo que he respondido esto antes, pero no puedo localizar mi respuesta fácilmente. De ahí esta (re) -post.

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Suponga que [matemáticas] n ^ 2 + 19n + 192 = m ^ 2 [/ matemáticas]. Multiplicar por [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y completar cuadrados da

[matemáticas] (2n + 19) ^ 2 + 407 = (2m) ^ 2 [/ matemáticas].

Así [matemáticas] (2m + 2n + 19) (2m-2n-19) = 407 = 11 \ cdot 37 [/ matemáticas].

Esto le da las dos posibilidades

[matemática] 2m + (2n + 19) = 407 [/ matemática], [matemática] 2m- (2n + 19) = 1 [/ matemática] y [matemática] 2m + (2n + 19) = 37 [/ matemática], [ matemáticas] 2m- (2n + 19) = 11 [/ matemáticas]

cuando [matemáticas] 2n + 19> 0 [/ matemáticas],

y las dos posibilidades

[matemática] 2m + (2n + 19) = 1 [/ matemática], [matemática] 2m- (2n + 19) = 407 [/ matemática] y [matemática] 2m + (2n + 19) = 11 [/ matemática], [ matemáticas] 2m- (2n + 19) = 37 [/ matemáticas]

cuando [matemáticas] 2n + 19 <0 [/ matemáticas].

• Si [matemática] 2n + 19> 0 [/ matemática], tenemos [matemática] (m, n) = (102,92) [/ matemática] o [matemática] (12, -3) [/ matemática].
• Si [matemática] 2n + 19 <0 [/ matemática], tenemos [matemática] (m, n) = (102, -111) [/ matemática] o [matemática] (12, -16) [/ matemática].

El conjunto de todos [math] n \ in \ mathbb Z [/ math] tal que [math] n ^ 2 + 19n + 192 [/ math] es un cuadrado perfecto es [math] \ {92, -3, -16 , -111 \} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

No creo que esta ecuación pueda resolverse para enteros.

De acuerdo con la regla de Shri Dharacharya, una ecuación cuadrática (con x como variable)

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

tiene las siguientes dos raíces:

[matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas].

Por lo tanto, para tener raíces reales, debe cumplir la siguiente condición:

[matemáticas] b ^ 2-4ac> = 0 [/ matemáticas]

Su ecuación tiene [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = 19 [/ matemática] y [matemática] c = 192 [/ matemática]. Por lo tanto tenemos

[matemáticas] 19 ^ 2 – 4 \ veces1 \ veces19 = -407 \ texto {(- valor de cinco)} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación [matemáticas] n ^ 2 + 19n + 192 [/ matemáticas] no tiene raíces reales (en consecuencia, no tiene raíces enteras).

Answer 3

Tenemos f (n) = n ^ 2 + 19n + 192

Ahora, en primer lugar, veremos qué valores de la función de cuadrados perfectos nos pueden dar

Valor mínimo de la función en f ‘(n) = 0

f ‘(n) = 2n + 19

=> n = -19 / 2

F (min) = f (-19/2) = 407/4

(También puede encontrar el valor mínimo por fórmula directa = -D / 4a donde, D es discriminante)

Supongamos que k ^ 2 (k pertenece a los enteros) es el valor de la función, entonces debería ser mayor que 100 (cuadrado perfecto un poco menos de 407/4)

n ^ 2 + 19n + 192 = k ^ 2 (donde k> 10 o k <-10)

n ^ 2 + 19n + 192-k ^ 2 = 0

n = [-19 + -√ (361–4 × (192-k ^ 2)] / 2

n = [- 19 + -√ (361–768 + 4k ^ 2)] / 2

n = [- 19 + -√ (4k ^ 2–407)] / 2

estos son los valores de n para los que la función es un cuadrado perfecto para valores enteros de n; 4k ^ 2 -407 debe ser un cuadrado perfecto y estos continúan

Sugerencias necesarias para resolver preguntas o este tipo de preguntas

Answer 4

Haz que tu ecuación sea un cuadrado perfecto menos algo en x.

Cualquier cosa agregada al término en cuadrado perfecto será un cuadrado perfecto en sí mismo.

La respuesta será R ~ {-4/10}.

Solución dada en el archivo adjunto. 🙂

Espero que esto ayude a su consulta. (En soln he usado x en lugar de n)