¿Cuál es el rango de [matemáticas] 3 \ sen x + 4 \ cos x-5 [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ text {Let} f (x) = 3 \ sen x +4 \ cos x -5 [/ math]

[matemáticas] f (x) = 5 (\ frac35 \ sen x + \ frac45 \ cos x-1) [/ matemáticas]

Considera este triángulo,

Aquí, [matemáticas] \ cos \ theta = \ frac35 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ theta = \ frac45 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la expresión dada se convierte en,

[matemáticas] f (x) = 5 (\ cos \ theta \ sin x + \ sin \ theta \ cos x -1) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = 5 (\ sin (x + \ theta) -1) [/ matemáticas]

Lo sabemos,

[matemáticas] -1≤ \ sin (x + \ theta) ≤1 [/ matemáticas]

Restar [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -2≤ \ sin (x + \ theta) -1≤0 [/ matemáticas]

Multiplique por [matemáticas] 5 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] 5> 0 [/ matemáticas], las desigualdades permanecen inalteradas.

[matemáticas] \ implica -10≤5 (\ sin (x + \ theta)) – 1≤0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ en caja {-10≤f (x) ≤0} [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {f (x) \ in [-10,0]} [/ math]


Verificación a través de Desmos.

[-10,0]

El rango es el conjunto de todos los posibles valores de y.

a senx + b cosx se puede reescribir como sqrrt (a ^ 2 + b ^ 2) cos (x – tan b / a)

Entonces esta ecuación se puede escribir como 5 cos (x – tan 3/4) – 5.

El desplazamiento de fase de tan3 / 4 no tendrá impacto en el rango.

Ahora tiene una amplitud de 5 y el eje sinusoidal está en -5. Como resultado, el rango debe ser -5 +/- 5, por lo que el rango es [-10,0]

espero que lo sepas

[matemáticas] a \ cos x + b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cos (x- \ alpha) \ tag * {} [/ matemáticas]

donde [math] \ alpha = \ arctan \ dfrac ba \ tag * {} [/ math]

Usando este resultado, podemos reescribir el problema dado como

[matemáticas] \ begin {align} 3 \ sen x + 4 \ cos x-5 & = 5 \ cos (x- \ alpha) -5 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Lo sabemos

[matemáticas] -1 \ le \ cos (x- \ alpha) \ le 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ begin {align} -5 & \ le 5 \ cos (x- \ alpha) \ le 5 \\ – 5-5 \ le & 5 \ cos (x- \ alpha) -5 \ le5-5 \\ – 10 \ le & 3 \ sen x + 4 \ cos x-5 \ le0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ text {Rango =} [- 10,0] \ etiqueta * {} [/ matemáticas]


http://www.mathcentre.ac.uk/reso

Reescribe 3 * sinx + 4 * cosx como 5 * ((3/5) * sinx + (4/5) * cosx). Tenga en cuenta que 3/5 y 4/5 son coseno y seno de algún ángulo (arccos 3/5).

Sabemos que sina * cosb + sinb * cosb = sin (algo), creo que es a + b, pero no me importa.

El rango de 5 * sin (algo) es [-5,5}

El rango de 5 * sin (algo) -5 es [-10,0].

La expresión 3 sen x + 4 cos x se puede convertir a la expresión equivalente 5 sin (y + x) donde y = arcsin (4/5). Por lo tanto, el rango de la expresión será [-10, 0].

Sea f (x) = 3sinx + 4cosx-5≡5sin (x + arctan (4/3)) – 5

Rf = [- 5–5,5–5] = [- 10,0]