Si [math] \ tan \ theta = \ sec 2 \ alpha [/ math], ¿cómo demuestra que [math] \ sin 2 \ theta = \ dfrac {1- \ tan ^ 4 \ alpha} {1+ \ tan ^ 4 \ alpha} [/ matemáticas]?

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {2 \ tan \ theta} {1+ \ tan ^ 2 \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {2 \ sec2 \ alpha} {1+ \ sec ^ 22 \ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {\ dfrac {2} {\ cos2 \ alpha}} {1+ \ dfrac {1} {\ cos ^ 22 \ alpha}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {2 \ cos2 \ alpha} {1+ \ cos ^ 22 \ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {2 \ left (\ dfrac {1- \ tan ^ 2 \ alpha} {1+ \ tan ^ 2 \ alpha} \ right)} {1+ \ left (\ dfrac {1- \ tan ^ 2 \ alpha} {1+ \ tan ^ 2 \ alpha} \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ sin2 \ theta = \ dfrac {\ require {cancel} \ cancel {2} \ left (1- \ tan ^ 2 \ alpha \ right) \ left (1+ \ tan ^ 2 \ alpha \ right )} {\ require {cancel} \ cancel {2} \ left (1+ \ tan ^ 4 \ alpha \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ sin2 \ theta = \ dfrac {1- \ tan ^ 4 \ alpha} {1+ \ tan ^ 4 \ alpha}} [/ math]

Answer 2

Trataría de probar si A, luego B, no si B, entonces A.

Comenzaría con el uso del Teorema de Soh Cah Toa y Pitágoras.

tanθ = o / a = 1 / cos2α → h = √1 + cos²2α

sinθ = o / h = 1 / √ (1 + cos²2α)

cosθ = a / h = cos2α / √ (1 + sec²2α)

sin2θ = 2sinθcosθ

= 2cos2α / (1 + cos²2α)

= 2 {(1-t²) / (1 + t²)} / {1+ (1-t²) ² / (1 + t²) ²}

= 2 (1-t²) / (1 + t²) / {2 (1 + t ^ 4)} / (1 + t²) ²

= (1-t²) (1 + t²) / (1 + t ^ 4)

= (1-t ^ 4) / (1 + t ^ 4) …………… donde t≡tanα