Es irónico que la respuesta dada sea parcial. Aún debe separar [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] s ^ 2–2s + 2 [/ matemáticas] así como [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] s ^ 2 + 2s + 2 [/matemáticas]
Método I
Cuando los factores tienen alguna similitud, podemos hacer algunos ensayos para evitar una solución más larga.
[matemáticas] (s ^ 2–2s + 2) + (s ^ 2 + 2s + 2) = 2s ^ 2 + 4… .. (4) [/ matemáticas]
- Si [math] \ tan \ theta = \ sec 2 \ alpha [/ math], ¿cómo demuestra que [math] \ sin 2 \ theta = \ dfrac {1- \ tan ^ 4 \ alpha} {1+ \ tan ^ 4 \ alpha} [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son los valores de x satisfactorios | x-2 | + | x-3 | = 1?
- ¿Cuál es el rango de [matemáticas] 3 \ sen x + 4 \ cos x-5 [/ matemáticas]?
- ¿Podría definir 1 dividido por cero como igual a x, luego usar x en ecuaciones matemáticas al igual que la raíz cuadrada de -1 = I?
- ¿Cuál es la derivada de [math] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {x} \ frac {1} {n} [/ math]?
[matemáticas] (s ^ 2–2s + 2) – (s ^ 2 + 2s + 2) = – 4s …… .. (5) [/ matemáticas]
sumando 2 veces (4) y s veces (5) nos da un constante 8. para que podamos escribir
[matemáticas] \ dfrac {1} {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} = \ dfrac {1} {8} \ dfrac {\ left (2 [(s ^ 2– 2s + 2) + (s ^ 2 + 2s + 2)] + s [(s ^ 2–2s + 2) – (s ^ 2 + 2s + 2)] \ right)} {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {8} \ dfrac {\ left ((2 + s) (s ^ 2–2s + 2) + (2-s) (s ^ 2–2s + 2) \ right) } {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {(2 + s)} {8 (s ^ 2 + 2s + 2)} + \ dfrac {(2-s)} {8 (s ^ 2-2s + 2)} [/ matemáticas ]
Método II
[matemáticas] \ dfrac {1} {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} = \ dfrac {As + B} {s ^ 2–2s + 2} + \ dfrac {Cs + D} {s ^ 2 + 2s + 2} …… (1) [/ matemáticas]
Para reducir nuestro trabajo podemos usar un truco. Cambiemos s a -s.
[matemáticas] \ dfrac {1} {(s ^ 2 + 2s + 2) (s ^ 2-2s + 2)} = \ dfrac {-As + B} {s ^ 2 + 2s + 2} + \ dfrac { -Cs + D} {s ^ 2-2s + 2}… .. (2) [/ matemáticas]
comparando (1) y (2) C = -A y D = B
Reescribiendo
[matemáticas] \ dfrac {1} {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} = \ dfrac {As + B} {s ^ 2–2s + 2} + \ dfrac {- Como + B} {s ^ 2 + 2s + 2} …… (3) [/ matemáticas]
opción I
Ahora, para encontrar A y B, veamos qué establece el denominador en 0.
[matemáticas] s ^ 2–2s + 2 = 0 s = 1 \ pm i [/ matemáticas]
multipliquemos (1) por [matemáticas] s ^ 2–2s + 2 [/ matemáticas] y establezcamos [matemáticas] s ^ 2–2s + 2 a 0 [/ matemáticas] es decir [matemáticas] s = 1 + i [/ matemáticas]
[matemáticas] A (1 + i) + B = \ dfrac {1} {(s ^ 2 + 2s + 2)} = \ dfrac {1} {(s ^ 2-2s + 2) + 4s} = \ dfrac {1} {(0) +4 (1 + i)} = \ dfrac {1-i} {8} [/ matemáticas]
Comparando ambos lados
A = [matemáticas] \ dfrac {-1} {8} [/ matemáticas] y [matemáticas] A + B = \ dfrac {1} {8} \ a B = \ dfrac {2} {8} [/ matemáticas]
Pero C = -A = [matemáticas] \ dfrac {1} {8} [/ matemáticas] y [matemáticas] D = B = \ dfrac {2} {8} [/ matemáticas]
Opcion II
Si a uno no le gustan los números complejos,
conjunto s = 0 en (3)
[matemáticas] \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {B} {2} + \ dfrac {B} {2} \ implica B = \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]
establezca s = 1 en (3) y obtenga A = [matemáticas] \ dfrac {-1} {8} [/ matemáticas]
Finalmente,
[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {1} {(s ^ 2–2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 2)} = \ dfrac {-s + 2} {8 (s ^ 2–2s + 2 )} + \ dfrac {s + 2} {8 (s ^ 2 + 2s + 2)}} [/ math]