¿La regla de poder de la diferenciación es válida para los poderes irracionales? Por ejemplo, ¿es [math] \ frac {d} {dx} x ^ {\ sqrt 3} = \ sqrt 3 x ^ {\ sqrt 3-1} [/ math] verdadero?

Answer 1

Deje que [math] \ alpha [/ math] sea una constante irracional (en su ejemplo [math] \ alpha = \ sqrt3 [/ math]), y [math] x [/ math] una variable real positiva, luego [math] x ^ \ alpha = \ exp (\ alpha \ ln x) [/ math].

Derive usando la regla de la cadena \ begin {align} d \, x ^ \ alpha & = d \, \ exp (\ alpha \ ln x) \\ & = \ exp (\ alpha \ ln x) d (\ alpha \ ln x ) \\ & = \ exp (\ alpha \ ln x) \ alpha d \, \ ln x \\ & = \ exp (\ alpha \ ln x) \ alpha \ frac {dx} x \\ & = \ alpha x ^ \ alpha \ frac 1xdx \\ & = \ alpha x ^ {\ alpha-1} dx \\\ tfrac d {dx} x ^ \ alpha & = \ alpha x ^ {\ alpha-1} \ end {align}

Para cada [math] \ alpha [/ math] esto es cierto.²

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¹ Si [math] \ alpha [/ math] es irracional, entonces [math] x ^ \ alpha [/ math] está bien definido para [math] x [/ math] un real positivo. Si [math] x [/ math] es un número negativo real o un número complejo (incluyendo [math] x = x + 0i [/ math]), entonces [math] x ^ \ alpha [/ math] es multivalor y tiene un valor contable valores infinitos, sin embargo, dentro de cada rama se mantiene [matemática] \ frac d {dx} x ^ \ alpha = \ alpha x ^ {\ alpha-1} [/ matemática]. Para racional [matemática] \ alpha [/ matemática] (y [matemática] x [/ matemática] negativa o compleja) la potencia tiene múltiples valores con tantos valores como el denominador de [matemática] \ alfa [/ matemática] en forma simplificada. Sin embargo, si el denominador es impar, puede extenderse a todos los reales [matemáticos] x [/ matemáticos] (positivos y negativos) como una función real definida por una semana, sin ramificarse como números complejos. (Excepto para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y exponentes no positivos).

² Para [matemática] x [/ matemática] una variable real positiva, esta demostración también es válida para [matemática] \ alfa [/ matemática] una constante compleja.

Answer 2

¡Lo hace! Y puede probarlo de la misma manera que lo hace para enteros siempre que sepa que el teorema binomial en realidad se aplica a todos los números, no solo a los enteros. Esto se llama teorema binomial generalizado [1]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} x ^ a = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {(x + h) ^ ax ^ a} {h} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle (x + h) ^ a = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {{a} \ elegir {k}} x ^ {ak} h ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (x + h) ^ a = {{a} \ elegir {0}} x ^ {a} h ^ 0 + {{a} \ elegir {1}} x ^ {a-1} h + O (h ^ 2) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [matemáticas] {{a} \ elegir {1}} = a, {{a} \ elegir {0}} = 1 [/ matemáticas]

Conectando esto de nuevo en:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} x ^ a = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {x ^ ax ^ a + a * x ^ {a-1} h + O (h ^ 2 )} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {a * x ^ {a-1} h + O (h ^ 2)} {h} = a * x ^ {a-1} [/ matemáticas]

¡Y eso es!

Notas al pie

[1] Teorema binomial – Wikipedia

Answer 3

Sí, ¿por qué no debería? ¿Por qué un número irracional haría alguna diferencia? La regla de poder para la diferenciación es válida para todos los números reales en el exponente.

Answer 4

Sí, y puedes probar esto desde los primeros principios.

Tome una secuencia de números racionales [matemática] \ {q_n \} [/ matemática] que convergen a [matemática] \ sqrt {3} [/ matemática]. Entonces tenemos para cualquier [matemáticas] n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ {q_n} = q_n x ^ {q_n-1}. [/ matemáticas]

Ahora, el resultado se obtiene tomando el límite [math] n \ to \ infty [/ math] y justificando el intercambio de límites (para esto, use la monotonicidad de la función involucrada).

Answer 5

Sí, es válido para un exponente constante como se puede probar con los primeros principios

Sin embargo, esto no significa que x ^ x se pueda diferenciar a (x) * (x ^ (x-1)) ya que el exponente ya no es constante

Se necesitarían otros métodos para resolver eso

Mientras el exponente sea constante, se aplica la regla de potencia