¿Cuál es la mejor manera de resolver un cuadrático, con o sin factorización?

Si bien uso varios métodos para resolver un cuadrático, tengo un método de “verificación final doble” que utilizo cuando termino de responder todas mis preguntas en un examen. Aquí es donde vuelvo a cualquier pregunta en la que no estoy 100% seguro de que estoy en lo cierto, y uso un método diferente para resolver la pregunta.

  • Para este truco que trabajas, debes tener la ecuación cuadrática MEMORIZADA y tener una buena calculadora que te permita usar variables como A, B, C y D. Uso la calculadora gráfica TI-84 PLUS CE para álgebra y cálculo porque profesores (nivel universitario) permiten esta calculadora.
  • Memoriza la ecuación cuadrática
    • x = [matemáticas] \ frac {-b \, \ pm \, \ sqrt {b ^ 2 \, – \, 4 · a · c}} {2 · a} [/ matemáticas]
  • Dígale a su calculadora a qué A, B y C son iguales:
    • 1 → A
      -3 → B
      2 → C
  • Deje que la calculadora calcule el discriminante, el valor dentro del radical:
    • B² – 4AC → D
  • Pídale que escriba los valores positivos y negativos, recordando que necesita dividir por (2A) o dividir por 2 y luego dividir por A
    • {(-B – √D) / (2A), (-B + √D) / 2 / A}
      • el paréntesis significa que ambas respuestas se mostrarán en una línea
    • O podría escribirlos en dos líneas separadas sin el corchete
      • (-B – √D) / (2A)
        (-B + √D) / 2 / A

Aquí está todo el proceso en una pantalla TI-84:

Lo bueno de esta estrategia es que puede reutilizar las líneas segunda y tercera una y otra vez. Para el siguiente ejemplo, yo

  • presionó la flecha ARRIBA para resaltar la primera línea
  • presiona ENTER
  • eliminó el signo menos (B) y cambió 2 a 4 (C)
  • presiona ENTER
  • presionó la flecha ARRIBA para resaltar la línea B²
  • presiona ENTER
  • presionó la flecha ARRIBA para resaltar la línea {entre corchetes}
  • presiona ENTER

Por supuesto, puede presionar la flecha hacia la derecha una vez que vea la respuesta amplia, pero podemos decir que la segunda respuesta debe ser -1.5 + 1.322875656i.

Además, la razón por la que no combino las líneas segunda y tercera en una línea es para que podamos ver el valor del discriminante. Esto significa que podemos mirar el segundo resultado y ver que nuestra respuesta exacta es

  • X = -1.5 – √7 / 2
  • X = -1.5 + √7 / 2

que podemos verificar como ves aquí:

¿Podemos usar esto durante las pruebas?

Si se le permite usar la calculadora, se le permite usar esta estrategia (a menos que su maestro lo prohíba específicamente).

Recuerde, algunos maestros y supervisores borrarán la memoria de su calculadora al modo “predeterminado” cuando ingrese a la sala de examen. Lo bueno de este truco es que lo has memorizado, así que una vez que te sientes y antes de que comience la prueba, pon todo esto inmediatamente en la pantalla de INICIO y pruébalo con una ecuación que sabes, como hice con (x- 1) (x-2) = 0.

Luego, una vez que comience la prueba, estará disponible para usted, pero recuerde, si su maestro le exige que muestre su trabajo, primero debe mostrar su trabajo, marcar sus respuestas, luego regresar y verificar su trabajo una vez que haya terminado. la prueba.

Bueno, hay muchas maneras de resolver una ecuación cuadrática. No puedo pensar en la mejor manera de resolver una ecuación quadratuc. Estoy escribiendo todos los métodos que sé para resolver una ecuación cuadrática. Puedes decidir qué método te conviene más.

  1. Por factorización.
  2. Por formula
  3. Método gráfico
  4. Usando la ecuación trigonométrica
  5. Hit y prueba (rara vez uso este método)
  6. Usando forma polar

Espero eso ayude…

Esta es la mejor manera de resolver una ecuación cuadrática.

Supongamos que necesito resolver la ecuación [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], donde [matemática] a \ ne 0 [/ matemática].

  1. Dividir entre [matemáticas] a [/ matemáticas]: [matemáticas] \ quad x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0. [/ Matemáticas]
  2. Ponga el término constante [matemáticas] \ frac {c} {a} [/ matemáticas] en el otro lado: [matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x = – \ frac {c} {a} .[/matemáticas]
  3. Agregue [math] \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ math] en ambos lados: [math] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {c} {a}. [/ Math]
  4. Factorizar: [matemática] \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}. [/ Math]
  5. Tome raíces cuadradas en ambos lados: [matemáticas] x + \ frac {b} {2a} = \ pm \ dfrac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. [/ Matemáticas]
  6. Ponga el término [matemática] \ frac {b} {2a} [/ matemática] en el otro lado: [matemática] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. [ /matemáticas]

Este método utiliza la técnica llamada completar el cuadrado.

Tendría que definir “mejor”. Si lo que quiere es uniformidad, entonces la ecuación cuadrática funciona cada vez que apesta. Si quieres velocidad, entonces tienes que ser realmente bueno en factoraje, que es mi opción. Es mucho más fácil de lo que cabría esperar.

En primer lugar, tienes que ser bueno en la factorización prima. Es decir, debe poder dividir un número en sus factores primos con bastante rapidez. Esto requiere algo de experiencia.

Entonces, por ejemplo, sé que 16 = 2 * 2 * 2 * 2 * 1, que 17 = 17 * 1, y que 18 = 3 * 3 * 2 * 1.

Si ha memorizado las tablas de multiplicar, entonces todo lo que necesita hacer es saber cómo factorizar del 1 al 12 y recordar algunos de los números primos comunes hasta alrededor de 50 más o menos. Entonces eres dorado por lo que te voy a mostrar.

Dada una ecuación cuadrática en la siguiente forma:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Divida [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] en factores primos. Entonces todo lo que necesita hacer es lo siguiente:

Compruebe qué factores [matemática] a_ {1}, a_ {2}, c_ {1}, c_ {2} [/ matemática] satisfacen la ecuación, de modo que [matemática] a_ {1} a_ {2} = a [/ matemáticas] y [matemáticas] c_ {1} c_ {2} = c [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que estos pueden no ser primos. Tal que:

[matemáticas] a_ {1} \ cdot c_ {1} + a_ {2} \ cdot c_ {2} = b [/ matemáticas]

Entonces puedes factorizar la cuadrática en:

[matemáticas] (a_ {1} x + c_ {2}) (a_ {2} x + c_ {1}) = 0 [/ matemáticas]

Ejemplo perfecto aquí:

[matemáticas] 45x ^ {2} + 38x + 8 = 0 [/ matemáticas]

Esta es una maldita bestia! ¡No puedes reducir los coeficientes y la ecuación cuadrática se verá como una pesadilla! ¡Sin embargo! ¡Divide ayc en factores primos!

[matemáticas] 45 = 3 \ cdot 3 \ cdot 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 8 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ matemáticas]

Noté que [matemáticas] b = 20 + 18 = (4 \ cdot 5) + (2 \ cdot 9) = ((2 \ cdot 2) \ cdot 5) + (2 \ cdot (3 \ cdot 3)) [ /matemáticas]

¡Estos son mis factores primos! (Obviamente, le encantaría tener experiencia comprobando estas cosas para obtener rapidez, pero eso no es un problema). El cuadrático anterior se reduce a:

[matemáticas] (5x + 2) (9x + 4) = 0 [/ matemáticas]

Aunque las respuestas de los otros encuestados son correctas, si su objetivo es la eficiencia numérica, la aplicación de la fórmula cuadrática no es el método más eficiente numéricamente, porque la raíz cuadrada del sistema suele ser un poco lenta. Si realmente necesita velocidad, debe usar Newton-Raphson para resolver la ecuación. Newton Raphson duplica su precisión en cada paso, siempre que esté en la cuenca convergente, y siempre esté en la cuenca convergente si está resolviendo un cuadrático.

Una suposición inicial inteligente acelerará las cosas aún más.

Si el cuadrático se factoriza fácilmente, anímate.

Si no, completar el cuadrado es ordenado.

Usar la fórmula de la solución cuadrática es en realidad un poco más agotador que cualquiera de los anteriores :).

Con la factorización, primero lo dividí.

ex. x² + 8x + 15 = 0

(x + 5) (x + 3) = 0

Luego convierte las constantes en sus opuestos.

x = -5 y -3

Sin, usaría la fórmula. En realidad, hay dos fórmulas similares y simples.

ex.

ax² + bx + c = 0

x = [-b ± √ (b² – 4ac)] / 2a

o, si b es par, divida b entre 2 y use este nuevo valor en esta fórmula

x = [-b₁ ± √ (b₁² – ac)] / 2a

INTUICIÓN GEOMÉTRICA DE ESTA HERMOSA ECUACIÓN

Si, para cuando escribo la pregunta (siempre hago eso en caso de que no pueda hacer nada más), lo tengo en cuenta y ya estoy listo. Si no, uso la fórmula cuadrática. Cuando escribo el signo de raíz cuadrada, generalmente tengo el discriminante calculado.

Podrías usar la fórmula cuadrática.