Suponga que existe un [math] \ varepsilon \ in \ mathbb {R} [/ math]
Tal que [matemáticas] \ varepsilon> 0 [/ matemáticas]
Queremos encontrar un número real N tal que
N [matemática] <[/ matemática] n implica que [matemática] | \ frac {(- 1) ^ n} {n} – 0 | <\ varepsilon [/ matemática], donde n es un número natural.
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Tan pronto como encontremos este número real N, es suficiente decir que el límite de esa secuencia es cero.
Antes de comenzar, quiero definir un término.
Propiedad archimediana: se dice que un campo ordenado (como los números reales) tiene la propiedad archimediana si por cada [matemática] x [/ matemática] en el campo, entonces existe un número natural [matemática] n [/ matemática] tal que [matemáticas] x <n [/ matemáticas].
Oh hombre, tenemos suerte de que los Números Reales tengan esta Propiedad (no proporcionaré la prueba) porque si no, el Cálculo no funcionaría.
Comencemos hablando de lo que significa N [matemáticas] <[/ matemáticas] n. Si podemos encontrar una N para cada épsilon, por la Propiedad Archimedian, que esencialmente dice que los Números Naturales no están acotados arriba, entonces CADA nunber natural se asigna a un término dentro de un determinado épsilon de nuestro supuesto límite. Pero necesitamos encontrar esta N antes de decir que existe el límite.
Comenzamos “jugando” con la declaración épsilon y vemos si podemos obtener un “algo” [matemático] <[/ matemático] n donde este "algo será nuestro N. Por lo tanto, necesitamos obtener nuestro N en términos de épsilon
Desde [math] | \ frac {(- 1) ^ n} {n} | <\ varepsilon [/ math]
[matemáticas] \ frac {1 ^ n} {n} = \ frac {1} {n} <\ varepsilon [/ matemáticas]
Esta desigualdad implica que [matemáticas] \ frac {1} {\ varepsilon} <n [/ matemáticas]
Por lo tanto, es suficiente elegir [matemáticas] \ frac {1} {\ varepsilon} [/ matemáticas] para ser N.
Para demostrar oficialmente que el límite es cero, simplemente revertimos el trabajo de lo que hicimos anteriormente.