Tenga en cuenta que [matemática] x, y, z \ gt 0 [/ matemática], y si [matemática] X, Y, Z [/ matemática] es una solución, entonces también lo es [matemática] aX, aY, aZ [/ matemática ], para cualquier positivo [matemáticas] a [/ matemáticas]. Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer [matemáticas] z = 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {y}} = \ frac {1} {y ^ 2} + \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 \ sqrt {y} = \ frac {y ^ 2 \ sqrt {x}} {y ^ 2 + \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 + \ sqrt {x} = \ frac {y ^ 2 \ sqrt {x}} {x ^ 2 \ sqrt {y}} = (\ frac {y} {x}) ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]
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Sustituya las variables [matemática] u = \ sqrt {\ frac {y} {x}} [/ matemática] y [matemática] v = \ sqrt {x} [/ matemática], de modo que [matemática] x = v ^ 2 [ / math] y [math] y = u ^ 2v ^ 2 [/ math]:
[matemáticas] u ^ 4v ^ 4 + v = u ^ 3 [/ matemáticas]
Ahora suponga que [math] v = \ frac {1} {u} [/ math]. Entonces tenemos [matemáticas] 1 + \ frac {1} {u} = u ^ 3 [/ matemáticas]. Esto producirá un conjunto de soluciones numéricamente manejables, st [math] u ^ 2 = \ frac {y} {x} [/ math] es ligeramente mayor que 1.
En términos más generales, elegir [matemática] v = \ frac {b} {u} [/ matemática] dará otros conjuntos de soluciones similares (con [matemática] b [/ matemática] fija y [matemática] a [/ matemática] variable sobre [matemáticas] (0, \ infty) [/ matemáticas]). Como [math] u ^ 3 = b ^ 4 + \ frac {b} {u} [/ math], tenemos varios casos para [math] x = b ^ 2 / u ^ 2 [/ math] y [math] y = b ^ 2 [/ matemáticas]:
- [matemática] b \ ll 1 [/ matemática]: [matemática] b ^ 4 \ aprox 0 [/ matemática], entonces [matemática] u ^ 4 \ aprox b [/ matemática], [matemática] u ^ 2 \ aprox \ sqrt {b} = \ epsilon [/ math], entonces [math] x = \ epsilon ^ 3 \ aprox 0 [/ math] y [math] y = \ epsilon ^ 4 \ aprox 0 [/ math];
- [matemática] b \ lt 1 [/ matemática]: [matemática] b ^ 4 \ aprox 0 [/ matemática], y [matemática] u ^ 4 [/ matemática] [matemática] \ aprox. b [/ matemática], [matemática ] u ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ aprox \ sqrt {b} [/ matemáticas]; entonces [matemáticas] 1> x = b ^ {3/2}> b ^ 2 = y [/ matemáticas];
- [matemática] b = 0.72449 [/ matemática]: [matemática] b ^ 4 + b = 1 [/ matemática] y [matemática] u = 1 [/ matemática], por lo tanto [matemática] x = y = b ^ 2 = 0.52489 [/matemáticas];
- [matemática] b = 1 [/ matemática]: entonces [matemática] u ^ 3 = 1 + \ frac {1} {u} [/ matemática], entonces [matemática] u ^ 2 \ aproximadamente 1.5 [/ matemática]; por lo tanto [matemáticas] x \ aprox 2/3, y = 1 [/ matemáticas];
- [matemáticas] b \ gt 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] b ^ 4 [/ matemáticas], [matemáticas] u ^ 3 \ gg \ displaystyle \ frac {b} {u} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ displaystyle \ frac {y} {x} = u ^ 2 \ aprox \ displaystyle b ^ {2 \ frac {2} {3}} [/ math]; entonces [matemáticas] x \ aprox \ displaystyle b ^ {- \ frac {2} {3}} <1 <b ^ 2 = y. [/ matemáticas]
Actualización: confirmada trazando. En el gráfico a continuación, [matemática] b \ aprox. 0 [/ matemática] cerca del origen, aumentando [matemática] b [/ matemática] sigue la curva hacia arriba a lo largo del eje y. Recuerde que esta es la curva solución solo para [math] z = 1 [/ math]; pero el cambio del valor de [math] z [/ math] simplemente reescala los [math] x [/ math] – y [math] y [/ math] -axes:
