¿Cómo se comporta [math] \ underbrace {log (log (log (log (log… (logx)))))} _ {\ text {x times}}, x \ in \ mathbb {N} [/ math] (teniendo en cuenta complejos valores)?

Answer 1

En realidad, puede responder su propia pregunta utilizando una buena calculadora programable. Recomiendo encarecidamente la calculadora gráfica TI-84 PLUS CE de Texas Instruments porque muchos maestros de matemáticas permiten su uso durante los exámenes de álgebra y cálculo.

• Para comenzar, escriba primero el registro más interno, la parte “log (x)” de su pregunta, pero sustituya su valor inicial por x:
• registro (9876543210)
• Esto pone el valor de esa respuesta en la memoria Ans
  para que podamos usarlo nuevamente.
• Ahora, calculemos el logaritmo de los valores de Ans . Tipo:
• log (ans)
• Finalmente, presione ENTER tantas veces como desee. Cada vez que lo haga, la calculadora calculará y mostrará el logaritmo de la respuesta anterior.

Aquí están los primeros cálculos:

• Haga clic en la imagen para verla ampliada.
• Siga presionando ENTER hasta que los números se acerquen lo suficiente al nivel de precisión deseado.

Y, por diversión, escribí un pequeño PRGM que se ejecuta en su calculadora gráfica para mostrar la progresión de los valores en el plano de coordenadas imaginario real.

Cada vez que presiona ENTRAR, dibuja una línea adicional, pero elimina la línea más externa y hace zoom para que podamos ver cómo la progresión se acerca cada vez más a un límite, pero, por supuesto, no sabemos cuál es ese límite.

Mientras el programa se está ejecutando, escribe los resultados en la pantalla de inicio, por lo que después de SALIR del programa (presione ON para interrumpir), puede ver los últimos resultados. Si desea estudiar cada número complejo en secuencia en esa pantalla de inicio, cambie la última línea a:

• Pausa: Pausa A: ir a 0
• con este cambio, el programa hará una pausa después de actualizar el gráfico, luego, cuando presione ENTER, mostrará el siguiente resultado y pausará esa pantalla hasta que presione ENTER nuevamente.

ADVERTENCIA: Escribí este programa en un CE que tiene una pantalla más grande. Es posible que deba ajustar todos los parámetros del comando TEXT para que se vea bien en su pantalla.

Deje un comentario si desea que cargue el PRGM como un comentario de texto que puede copiar y pegar en la aplicación de Windows de TI.

Mientras tanto, he agregado mucho al programa (ahora son aproximadamente 70 líneas (declaraciones) de código)

Las pantallas pueden parecer similares, pero hay mucho más “bajo el capó”.

Ingrese “¿VALOR DE INICIO?”, A
log (A → B
min (A, B → Xmin
max (A, B → Xmax
0 → Ymin
1.6 → Ymax
10 ^ int (log (A → Xscl
Xscl → Yscl
A → R
0 → I
{R → L₁
{I → L₂
1 → C
L₁ → L₃
L₁ → L₄
ClrDraw

Lbl 0
R → S
I → J
C + 1 → C
R → L₁ (C
I → L₂ (C
log (A → A
real (A → R
imag (A → I
Disp A
Si C≤8 o 0 = L₂ (C-1: Ir a 0

Para (B, 1,8
L₁ (C-B + 1 → L₃ (B
L₂ (C-B + 1 → L₄ (B
Fin

min (L₃ → Xmin
max (L₃ → Xmax
min (L₄ → Ymin
max (L₄ → Ymax
Si Ymin + Ymax = 0: Entonces: -. 5 → Ymin: .5 → Ymax: Fin

Si Xmax <5: entonces
Si ▲ X> ▲ Y: entonces
▲ X → ▲ Y: De lo contrario: ▲ Y → ▲ X
Fin
Fin

Si Xscl> 10 ^ -5: entonces
Mientras que (Xmax-Xmin) / Xscl <2
.1Xscl → Xscl
Xscl → Yscl
Fin
Fin

Para (B, C-6, C
Si L₁ (B-1) ≥Xmin y L₁ (B) ≥Xmin y L₁ (B-1) ≤Xmax y Xmax≥L₁ (B): Línea (L₁ (B-1), L₂ (B-1), L₁ (B), L₂ (B
Fin

Si Xmax-Xmin≥.001: Entonces
Texto (0,99, .001int (1000Ymax
Texto (148,99, .001int (1000Ymin
Texto (72,2, .001int (1000Xmin
Texto (72,222, .001int (1000Xmax
Fin

36
Si I> .5 (Ymin + Ymax: 108
Texto (Respuesta, 54, R, “+”, I, “i

Pausa
Si Xmax-Xmin> 5 * 10 ^ -8: Ir a 0

Traté de encontrar todos los lugares donde QUORA no pegó lo que realmente estaba en este programa. Si obtiene un error al usar este código, déjeme un comentario y volveré a verificar mi programa con lo que está aquí.

(▲ xy ▲ y se pueden encontrar en las variables VENTANA VARS).

Answer 2

EDITAR: Mientras tanto, la formulación de la pregunta ha cambiado, pero creo que mi respuesta sigue siendo relevante, por lo tanto, la dejo sin cambios.

No se nos da un número significativo de veces que se aplica el logaritmo (solo se puede aplicar un número entero de veces). Curiosamente, sin embargo, para un número “muy grande” de logaritmos, podemos encontrar aproximadamente el resultado de su función:

Dejar

[matemáticas] f (z) = \ lim_ {n \ to \ infty} f_n (z), \: z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}, [/ math]

donde [math] f_n (z) [/ math] significa la aplicación [math] n [/ math] -fold de la primera rama de log:

[matemáticas] f_n (z) = \ log (\ log (\ log (\ cdots (\ log (z))))). [/ math]

Entonces,

[matemáticas] f (z) = – W (-1) \ aproximadamente 0.31813151-1.3372357i [/ matemáticas] si [matemáticas] Im (z) <0, [/ matemáticas]

[matemáticas] f (z) = \ overline {-W (-1)} \ aprox 0.31813151 + 1.3372357i [/ matemáticas] si [matemáticas] Im (z)> 0, [/ matemáticas]

donde [math] W [/ math] es la función Lambert W y [math] \ overline {\ cdot} [/ math] es el conjugado complejo. Tanto [math] -W (-1) [/ math] como [math] \ overline {-W (-1)} [/ math] son ​​puntos fijos de la primera rama de [math] \ log (\ cdot) [ /matemáticas].

Answer 3

Quizás alguien con más experiencia podría responder esto con un razonamiento más allá de lo que puedo, pero escribí un script de Python para realizar esto usando base [math] e [/ math] y encontré 2 cosas interesantes.

1) Al trazar puntos de esto en el plano complejo, el gráfico de puntos conectado se ve así:

2) El punto al que se acerca es aproximadamente 0.318131505205 ​​+ 1.33723570143i

¡Ojalá alguien pueda arrojar algo de luz sobre cuál es ese número!

Aquí está el script que usé para encontrar estos resultados.

import cmath, math
importar matplotlib.pyplot como plt

def log (x, l = 1):
si l == x:
return cmath.log (x, math.e)
más:
return cmath.log (log (x, l + 1), math.e)

valores = [log (a) para un rango (1, 100)]

x_coords = [a.real para a en valores]
y_coords = [a.imag para a en valores]

plt.plot (x_coords, y_coords)

plt.show ()