Cuando agregas un cuadrado perfecto a otro, un cuadrado perfecto diferente ¿siempre obtendrás un tercer cuadrado perfecto?

Answer 1

Por diversión, supongamos que su hipótesis es cierta.

Teorema: ¡ Cada entero positivo es un cuadrado perfecto!

Prueba: [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Entonces, [matemáticas] 2 [/ matemáticas] también es un cuadrado perfecto porque [matemáticas] 2 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora, también lo es [math] 3 [/ math], porque [math] 2 [/ math] es un cuadrado perfecto según nuestro teorema y también lo es [math] 1 [/ math]. ¡Podemos seguir sumando 1, y eso generará todos los enteros positivos, mostrando que todos son cuadrados perfectos!

Te dejaré decidir si la hipótesis original era correcta.

Editar: Resulta que OP requiere que los cuadrados perfectos dejen de ser distintos, por lo que no podemos comenzar desde [math] 1 [/ math] y [math] 1 [/ math]. En cambio, tenemos que comenzar desde [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 [/ matemáticas], lo que implica que todos los enteros que no sean 2 o 3 son cuadrados perfectos.

Answer 2

Piensa en ello de esta manera. Un cuadrado perfecto es un cuadrado. Siempre puedes dividir un cuadrado en cuatro cuartos iguales. Por lo tanto, puede multiplicar cuadrados impares o pares por 4 o dividir un cuadrado perfecto par por 4. De cualquier manera, obtendrá otro cuadrado:

No hay tal regla para 2 cuadrados. Sin embargo, cada número (excepto un cuadrado) se puede expresar como la diferencia de dos cuadrados, lo que conduce a un método importante de propiedad y factorización.

1. Agregue un cuadrado a cualquier número que haga otro cuadrado.
2. Encuentra la raíz cuadrada de cada cuadrado.
3. Restarlos y agregarlos para encontrar dos factores (no necesariamente primos).

Por ejemplo:

N: 917
Plazas: 3844, 4761
Raíces cuadradas: 62, 69
Factores: 7 * 131

Answer 3

No siempre es así.

En el caso de Pitágoras se triplica es posible pero no en general.

Pitágoras se triplica, digamos 5, 12 y 13 son los números base y la suma de sus cuadrados, que resultan ser 25 + 144 = 169, es el cuadrado de un tercer número.

El escalado de los triples de Pitágoras da la suma de sus cuadrados es el cuadrado de un tercer número.

La escala de 5, 12 y 13 da 10, 24 y 26. Entonces 10 ^ 2 + 24 ^ 2 = 100 +576 = 676 = 26 ^ 2. Entonces aquí es válido.

Tome 1 y 9, que son los cuadrados de 1 y 3 cuando se suman, da 10, que no es un cuadrado. Otro ejemplo. 4 y 9 son cuadrados de 2 y 3, pero la suma 13 no es un cuadrado perfecto.

Mi respuesta a su pregunta es NO en general.

Answer 4

No. Un simple ejemplo de contador sería la suma de 4 y 9, que es 13, ¡y no es nada perfecto! Las sumas de cuadrados que son cuadrados perfectos se llaman triples pitagóricos, y Wikipedia es bastante buena aquí: triple pitagórico – Wikipedia

Answer 5

Realmente no. Solo unos pocos de los números caen en ese espacio.

[matemáticas] 3 ^ 2 [/ matemáticas] + [matemáticas] 5 ^ 2 [/ matemáticas] = 34, que no es un cuadrado perfecto.

[matemáticas] 3 ^ 2 [/ matemáticas] + [matemáticas] 4 ^ 2 [/ matemáticas] = 25, que es un cuadrado perfecto.

Tales trillizos al agregar el cuadrado dan un cuadrado perfecto se denominan trillizos de pitágora.

¡¡¡Feliz aprendizaje!!!

Answer 6

Un cuadrado perfecto es un entero [matemático] n [/ matemático] para el cual existe algún entero [matemático] k [/ matemático] tal que [matemático] k ^ 2 = n [/ matemático].

Su hipótesis es que [matemáticas] k_1 ^ 2 + k_2 ^ 2 = k_0 ^ 2 [/ matemáticas] para cada par de enteros [matemáticas] k_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] k_2 [/ matemáticas].

Considere [matemáticas] k_1 = k_2 = 1 [/ matemáticas].

¿Es su hipótesis verdadera o falsa?

Answer 7

No, no siempre obtendrá un cuadrado perfecto: 4 + 4 = 8, pero 8 no es un cuadrado perfecto, a pesar de que 4 es un cuadrado perfecto. También 1 + 1 = 2, ¡él, él!

Answer 8

No. Contraejemplo: 4 + 9 = 13

A veces obtienes un cuadrado perfecto. 9 + 16 = 25, por ejemplo. Una pregunta abierta (creo) es si cada cuadrado es la diferencia de dos cuadrados perfectos.

Answer 9

¿A veces? Si.

¿Siempre? No.

9 + 16 = 25 … bueno …

144 + 25 = 169 … hmm … está bien …

Pero que pasa….

4 + 1 = 5

9 + 4 = 13

16 + 4 = 20

y muchos más …

Answer 10

No, pero si los multiplicas lo harás. De hecho, no estoy seguro de que alguna vez obtendrías un cuadrado perfecto al sumar dos cuadrados perfectos, a menos que uno de ellos fuera 0.

Como otros han señalado, hay casos de esto. No lo pensé todo el tiempo, obviamente.

Answer 11

1 ^ 2 + 2 ^ 2 = 1 + 4 = 5 ≠ un cuadrado perfecto

entonces no

pero obviamente 3,4,5

así es a veces , no siempre

…

Answer 12

Casi siempre, no lo harás.