Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (x + 1)} {x ^ 2 + 1} dx [/ math]

Answer 1

Mi hombre Sid ya ha proporcionado 3 formas elegantes de resolver este problema. ¿Permítanme proporcionar la manera no elegante entonces?

Cabe señalar que el numerador de la integral dada se puede expresar como [math] \ ln (1 + x) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {x \, \ mathrm {d} {y }} {1 + xy} [/ math] (Al integrarse parcialmente con respecto a [math] y [/ math], manteniendo [math] x [/ math] constante).

Entonces nuestra integral [matemática] \ displaystyle I = \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (x + 1)} {x ^ 2 + 1} \ mathrm {d} x [/ math] puede expresarse como:

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {x \, \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + xy) (1 + x ^ 2)} \ tag * {} [/ math]

Intercambiando [matemáticas] x \ a y [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {y \, \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + xy) (1 + y ^ 2)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica 2I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ left (\ dfrac {x} {1 + x ^ 2} + \ dfrac {y} {1 + y ^ 2} \ right) \ dfrac {\ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + xy)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica 2I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {(x + y) (1 + xy) \, \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) (1 + y ^ 2) (1 + xy)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica 2I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {(x + y) \, \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) (1 + y ^ 2)} \ tag * {} [/ math]

Por simetría podemos escribir,

[matemáticas] 2I = \ displaystyle2 \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {x \, \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) (1 + y ^ 2)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica I = \ displaystyle \ left (\ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {x \ mathrm {d} x} {1 + x ^ 2} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {1} {1 + y ^ 2} \ mathrm {d} y \ right) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ boxed {\ boxed {I = \ ln (2) \ cdot \ dfrac {\ pi} {8}}} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Un método convencional fácil:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (x + 1)} {x ^ 2 + 1} \, dx \ tag {1} \\ & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (1+ \ tan \ theta) \, d \ theta \ tag {2} \\ & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln \ left \ {1+ \ tan \ left (\ dfrac {\ pi} {4} – \ theta \ right) \ right \} \, d \ theta \ tag {3} \\ & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln \ left (\ dfrac {2} {1+ \ tan \ theta} \ right) \, d \ theta \ tag {4} \ end {align} [ /matemáticas]

Explicación:

(2) [matemáticas] x = \ tan \ theta [/ matemáticas]

(3) [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {a} f (x) \, dx = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {a} f (ax) \, dx [/ math]

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Ahora agregue la ecuación (2) y (4)

[matemáticas] 2I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (2) \, d \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {\ pi} {8} \ ln (2) \ tag * {} [/ matemáticas]

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Método de Feynmann:

[matemáticas] I (a) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (1 + ax)} {1 + x ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora busquemos [matemáticas] I ‘(a) [/ matemáticas], luego usemos la fracción parcial.

[matemáticas] I ‘(a) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {x} {(1 + ax) (1 + x ^ 2)} \, dx = – \ dfrac {\ ln ( 1 + a)} {1 + a ^ 2} + \ dfrac {2 \ ln 2+ \ pi a} {(1 + a ^ 2) 4} \ tag * {} [/ math]

Ahora integre este wrt [math] a [/ math] y ponga [math] a = 1 [/ math]

[matemáticas] I (a) = \ underbrace {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} – \ dfrac {\ ln (1 + a)} {1 + a ^ 2} \, da} _ {- I ( a)} + \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {2 \ ln 2+ \ pi a} {(1 + a ^ 2) 4} \, da \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] 2I (a) = \ dfrac {\ pi} {4} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {a} {1 + a ^ 2} \, da + \ dfrac {1} {2 } \ ln 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {da} {1 + a ^ 2} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] 2I (1) = \ dfrac {\ pi} {4} \ ln (2) \ implica I (1) = \ dfrac {\ pi} {8} \ ln (2) \ tag * {} [/ matemáticas]

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Otra forma más fácil es usar la sustitución

[math] x = \ dfrac {1-y} {1 + y} \ implica \ mathrm {d} x = – \ dfrac {2} {(1 + y) ^ 2} \ tag * {} [/ math]

la integral se convierte

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {1} ^ {0} \ dfrac {\ ln \ frac {2} {1 + y}} {\ left (\ frac {1-y} {1 + y} \ right ) ^ 2 + 1}. \ Dfrac {-2} {(1 + y) ^ 2} \, dy = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln 2} {y ^ 2 + 1 } \, dy-I \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {\ pi} {8} \ ln (2) \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Deje [math] I = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ ln (x + 1)} {x ^ 2 + 1} dx [/ math]

Consideramos [math] x = tan \ theta \ Rightarrow dx = sec ^ 2 \ theta d \ theta [/ math]

Y [matemática] \ theta \ rightarrow \ dfrac {π} {4} [/ math] como [math] x \ rightarrow 1, \ theta \ rightarrow 0 [/ math] como [math] x \ rightarrow 0 [/ math]

Entonces, [matemáticas] I = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ dfrac {ln (1 + tan \ theta)} {1 + sec ^ 2 \ theta} sec ^ 2 \ theta d \ theta = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ ln (1+ \ tan (\ dfrac {π} {4} – \ theta)) d \ theta = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4} } \ ln [1+ \ dfrac {1-tan \ theta} {1 + tan \ theta}] d \ theta = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ ln [\ dfrac {2} {1 + \ tan \ theta}] d \ theta = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ ln (2) d \ theta- \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ ln (1 + tan \ theta) d \ theta \ Rightarrow I = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {4}} \ ln (2) d \ theta-I \ Rightarrow 2I = \ dfrac {π} {4} \ ln ( 2) \ Rightarrow I = \ dfrac {π} {8} \ ln (2) [/ math]

Por lo tanto, [math] \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ ln (x + 1)} {x ^ 2 + 1} dx = \ dfrac {π} {8} \ ln (2) [/ math]

El problema ya está hecho.

Answer 4

¿Es esa la respuesta correcta?

Answer 5