Cómo demostrar cosx = 2cos ^ 2 (x / 2) -1

Answer 1

[matemáticas] \ text {Considere la identidad de Euler} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] Poner [/ matemáticas] [matemáticas] \ theta = \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {i \ frac {x} {2}} = \ cos \ frac {x} {2} + i \ sin \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {cuadrando ambos lados} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos ^ 2 \ frac {x} {2} + (- \ sin ^ {2} \ frac {x} {2}) + 2i \ cos \ frac {x} {2 } \ sin \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] Pero [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos x + i \ sin x = \ cos ^ 2 \ frac {x} {2} – \ sin ^ {2} \ frac {x} {2} + 2i \ cos \ frac {x} {2} \ sin \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {comparando partes reales} [/ matemáticas]

[matemáticas] cosx = \ cos ^ {2} \ frac {x} {2} – \ sin ^ {2} \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

[math] \ text {usando la identidad sin²x + cos²x = 1} [/ math]

[matemáticas] \ cos x = \ cos ^ {2} \ frac {x} {2} – (1- \ cos ^ {2} \ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos x = 2 \ cos ^ 2 \ frac {x} {2} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ matemáticas {Por lo tanto} [/ matemáticas]

Answer 2

Asumiré que sabes [matemáticas] Cos [/ matemáticas] [matemáticas] (A + B) = CosACosB-SinASinB [/ matemáticas] Si estás buscando una prueba de esto, puedes ver mi respuesta aquí – La respuesta de Harshit Bajpai a ¿Cuál es la prueba de que cos (x + y) = cos (x) cos (y) – sin (x) sin (y)?

Entonces, para esta pregunta, tome [math] A = B = x / 2 [/ math] y ponga los valores en la fórmula

[matemáticas] Cos (x) = Cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) – Sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] Cos (x) = Cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) – (1 – Cos ^ 2 (\ frac {x} {2})) [/ matemáticas]

[matemáticas] Cos (x) = 2 * Cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) -1 [/ matemáticas]

Gracias por preguntar 😀

Answer 3

¿Cómo puedo probar cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) – 1?

Sea x = 2a, entonces cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) – 1, se convierte en

cos 2a = 2 cos ^ 2 (a) – 1

LHS = cos 2a

= cos ^ 2 a – sin ^ 2 a

= cos ^ 2 a – (1 -cos ^ 2 a)

= cos ^ 2 a – 1 + cos ^ 2 a

= 2cos ^ a – 1.

= 2cos ^ 2 (x / 2) – 1 [ya que a = x / 2]

= RHS.

Demostrado

Answer 4

Simplemente escriba cosx como cos (x / 2 + x / 2) y amplíelo usando la fórmula cos (A + B) = cosAcosB – sinAsinB,

cosx = cos (x / 2 + x / 2) = cos ^ (x / 2) – sin ^ 2 (x / 2)

= cos ^ (x / 2) – (1 – cos ^ (x / 2))

= 2cos ^ (x / 2) – 1

Answer 5

Deje [math] \ theta = \ frac {x} {2} [/ math].

Luego se convierte en [matemáticas] 2 {\ cos} ^ {2} (\ theta) – 1 [/ matemáticas] en el RHS.

Ahora, recuerde la identidad trigonométrica [matemáticas] \ cos (2 \ theta) = 2 {\ cos} ^ {2} (\ theta) – 1 [/ matemáticas].

Por lo tanto, el RHS se convierte en [matemáticas] \ cos (2 \ theta) [/ matemáticas].

Sustituya el valor de [math] \ theta [/ math] en:

[matemáticas] \ displaystyle \ cos (2 \ cdot \ dfrac {x} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ cos (x) [/ matemáticas]

Y ha sido probado.

Answer 6

[matemáticas] \ cos (2X) = \ cos ^ 2 (X) – \ sin ^ 2 (X) [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] \ cos (x) [/ matemáticas] [matemáticas] = \ cos (2 (x / 2)) = \ cos ^ 2 (x / 2) – \ sin ^ 2 (x / 2) [/ matemáticas]. Ahora recuerde que para cada ángulo [matemática] X [/ matemática], [matemática] \ sin [/ matemática] [matemática] ^ 2 (X) + \ cos ^ 2 (X) = 1 [/ matemática]. Use esta identidad fundamental para volver a escribir [matemáticas] \ sin ^ 2 (x / 2) [/ matemáticas] en términos de coseno.

Answer 7

Usando la identidad cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

Pon x e y como x / 2, obtienes

Cos x = cos ^ 2 (x / 2) – sin ^ 2 (x / 2)

Ahora use la identidad sin ^ 2 (x / 2) = 1-cos ^ 2 (x / 2) en el RHS anterior.

Finalmente obtienes el resultado que pediste. Espero que esto ayude !

Answer 8

Tenga en cuenta la identidad

cos (x + y) = cos (x) cos (y) – sin (x) sin (y)

Dejar x = y esto es cos (2x) = cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x), y sustituir sin ^ 2 (x) = 1 – cos ^ 2 (x) da cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) – 1.

Cambia las variables de x a x / 2.