Cómo calcular [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n-1} {2 ^ n} [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n-1} {2 ^ n} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {2 ^ n} – \ frac {1} {2 ^ n} = – 1+ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {2 ^ n} = – 1+ \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} \ frac {n + 1} {2 ^ n} = 2-1 + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n} {2 ^ n} [/ math]

Ahora observe que [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n} {2 ^ n} = (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + (\ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + (\ sum_ {n = 3} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + \ dotsc = (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + \ frac {1} {2} (\ sum_ {n = 1} ^ { \ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + \ frac {1} {4} (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n}) + \ dotsc = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n} = 2 [/ math]

Así [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n-1} {2 ^ n} = 2-1 + 2 = 3 [/ matemáticas]

Answer 2

Método 1 (utilizando diferenciación): –

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ bigg [} \ frac {2n-1} {2 ^ n} {\ bigg]} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ bigg [} \ frac {2n} {2 ^ n} – \ frac {1} {2 ^ n} {\ bigg]} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {2 ^ n} – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = S_1 – S_2 [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle S_2 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n} [/ math] se puede encontrar usando la fórmula para series geométricas infinitas: [math] \ displaystyle GS _ {\ infty} = \ frac {a} {1-r} [/ math], entonces, [math] \ displaystyle S_2 = \ frac {\ frac {1} {2}} {1 – \ frac {1} {2}} = \ frac {1/2} {1/2} = 1 [/ matemáticas].

y para [math] \ displaystyle S_1 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {2 ^ n} [/ math], considere las siguientes series geométricas infinitas:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +… [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {d} {dx} \ left (\ frac {1} {1-x} \ right) = \ frac {d} {dx} \ left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +… \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {1} {(1-x) ^ 2} = 1 + 2x + 3x ^ 2 +… [/ matemáticas]

y ahora, en [math] \ displaystyle x = \ frac {1} {2} [/ math], esto se convertirá

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {1} {(1- \ frac {1} {2}) ^ 2} = 1 + \ frac {2} {2} + \ frac {3} {2 ^ 2} +… [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {1} {\ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 4 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {2 ^ {n} 2 ^ {- 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 4 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {2 ^ {n}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 4 = S_1 [/ matemáticas]

entonces tenemos [matemáticas] S = S_1 – S_2 = 4 – 1 = 3. [/ matemáticas]

QED

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Método 2 (usando integración): –

La respuesta de Aryan Arora a ¿Alguien puede encontrar este límite y explicármelo? http://imgur.com/a/IgblO

Answer 3

Busquemos una expresión “cerrada” para la función

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} (2n-1) x ^ n [/ matemáticas]

cuyo radio de convergencia es [matemática] 1 [/ matemática] (la regla de D’Alembert funciona bien).

Comience dividiendo la suma en dos series absolutamente convergentes:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 2 \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} nx ^ n- \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} x ^ n [/ math]

la segunda suma es una serie geométrica, que se evalúa como [math] \ dfrac {x} {1-x} [/ math]. Para encontrar la primera suma, comenzaremos evaluando

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} nx ^ {n-1} [/ matemáticas]. Este se puede encontrar diferenciando las series geométricas mencionadas anteriormente:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} nx ^ {n-1} = \ frac {d} {dx} \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} x ^ n = \ frac {d} {dx} \ left (\ frac {1} {1-x} \ right) = \ frac {1} {(1-x) ^ 2} [/ math]

como tuvimos que arrastrar un “factor [matemático] x [/ matemático]” (sin juego de palabras) de la primera suma para obtener este último resultado, tenemos que agregarlo al final:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ frac {2x} {(1-x) ^ 2} – \ frac {x} {1-x} = \ frac {x} {1-x} \ left (\ frac {2} {1-x} -1 \ right) = \ frac {x (1 + x)} {(1-x) ^ 2} [/ math]

En particular,

[matemáticas] \ displaystyle f \ left (\ frac 12 \ right) = \ boxed {\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {2n-1} {2 ^ n} = 3} [ /matemáticas]