Una partícula se mueve con aceleración a (t) = 30 t + 14. Su posición en el tiempo t = 0 es s (0) = 2, y su velocidad en el tiempo t = 0 es v (0) = 6. ¿Cuál es su posición en el tiempo t = 10?

Con la información aquí, puede encontrar la función de velocidad y la posición de distancia con respecto al tiempo, v (t) ys (t), respectivamente.

Cuando integramos a (t), obtenemos [matemáticas] 15t ^ 2 + 14t + C [/ matemáticas], donde podemos encontrar el valor de C usando v (0).

[matemáticas] v (t) = \ int a (t) dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 30t + 14 = 15t ^ 2 + 14t + C [/ matemáticas]

[matemáticas] v (t) = 15t ^ 2 + 14t + C [/ matemáticas]

[matemáticas] v (0) = 15 (0) ^ 2 + 14 (0) + C = 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] v (t) = 15t ^ 2 + 14t + 6 [/ matemáticas]

Ahora podemos encontrar s (t) integrando v (t).

[matemáticas] s (t) = \ int v (t) dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 15t ^ 2 + 14t + 6 dt = 5t ^ 3 + 7t ^ 2 + 6t + C [/ matemáticas]

[matemáticas] s (t) = 5t ^ 3 + 7t ^ 2 + 6t + C [/ matemáticas]

[matemáticas] s (0) = 5 (0) ^ 3 + 7 (0) ^ 2 + 6 (0) + C = 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] s (t) = 5t ^ 3 + 7t ^ 2 + 6t + 2 [/ matemáticas]

Ahora que tenemos nuestra función de posición, puede encontrar la posición en el momento 10 para s (10).

[matemáticas] s (10) = 5 (10) ^ 3 + 7 (10) ^ 2 + 6 (10) + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] s (10) = 5762 [/ matemáticas]

¡Bastante simple!

Tenemos la ecuación diferencial

[matemáticas] \ frac {d ^ 2s} {dt ^ 2} = 30t + 14 [/ matemáticas]

Multiplica por el elemento diferencial del tiempo

[matemáticas] d \ frac {ds} {dt} = (30t + 14) dt [/ matemáticas]

Integrar y obtenemos

[matemáticas] \ frac {ds} {dt} = 15t ^ 2 + 14t + C_1 [/ matemáticas]

Enjuague y repita

[matemáticas] ds = (15t ^ 2 + 14t + C_1) dt [/ matemáticas]

[matemáticas] s = 5t ^ 3 + 7t ^ 2 + C_1t + C_2 [/ matemáticas]

Ahora solo necesitamos arreglar nuestras constantes con las dos ecuaciones que nos dieron

[matemáticas] 6 = 15 (0) ^ 2 + 14 (0) + C_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = 5 (0) ^ 3 + 7 (0) ^ 2 + C_1 (0) + C_2 [/ matemáticas]

Es bastante fácil deducir que [matemáticas] C_1 = 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] C_2 = 2 [/ matemáticas], por lo que nuestra respuesta final es …

[matemáticas] s = 5t ^ 3 + 7t ^ 2 + 6t + 2 [/ matemáticas]

Ahí tienes!