¿Cómo decimos que la diferenciación de seno x es coseno x?

Answer 1

Probar –

[matemáticas] \ frac {d (sin (x))} {dx} = cos (x) [/ matemáticas]

La serie Maclaurin para [math] sin (x) [/ math] [1] viene dada por:

[matemáticas] sin (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!}…. \ infty [ /matemáticas]

La serie Maclaurin para [matemáticas] cos (x) [/ matemáticas] [2] [matemáticas] es – [/ matemáticas]

[matemáticas] cos (x) = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!}…. \ infty [ /matemáticas]

Ahora, diferenciemos [math] sin (x) [/ math] y su serie Mclaurin.

[matemáticas] \ frac {d (sin (x))} {dx} = 1 – \ frac {3.x ^ 2} {3!} + \ frac {5.x ^ 4} {5!} – \ frac {7.x ^ 6} {7!}…. \ Infty [/ math]

[matemáticas] \ frac {d (sin (x))} {dx} = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6 } {6!}…. \ Infty [/ math]

Que, como habrás notado, es nuestra querida expansión de Maclaurin para [math] cos (x). [/ Math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {d (sin (x))} {dx} = cos (x) \ blacksquare [/ math]

Notas al pie

[1] Maclaurin Expansión del pecado (x)

[2] La expansión de Maclaurin de cos (x)

Answer 2

Aunque Azim ha dado una respuesta adecuada, si no encuentra intuitiva la serie mclaurin, aquí hay un enfoque más simple:

Aquí hay una gráfica de sin (x):

Ahora dy / dx simplemente significa la pendiente de la gráfica. Intenta encontrar la pendiente de la gráfica en algunos puntos.

Por ejemplo: en x = 0 rad la pendiente de la gráfica es +1. Trace esto en otro gráfico.

Entonces la pendiente en x = Π / 2 rad es 0. Trace esto.

Igualmente, haga lo mismo para otros puntos y así es como se verá su nuevo gráfico:

Y ese es tu gráfico cos (x). disfrutar

PD : esta no es la prueba matemática de tu pregunta. Es solo una forma de aplicar la diferenciación básica y verificar el concepto.

Salud

Fuente de la imagen: imágenes de Google

Answer 3

No lo “decimos”, lo demostramos:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} [\ sin (x)] ^ \ prime &: = & \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ sin (x + \ Delta x) – \ sin (x)} {\ Delta x} \\ & = & \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ sin (x) \ cos (\ Delta x) + \ cos (x) \ sin (\ Delta x) – \ sin (x)} {\ Delta x} \\ & = & \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ sin (x) (\ cos (\ Delta x) -1) + \ cos (x) \ sin (\ Delta x)} {\ Delta x} \\ & = & \ cos (x) \ end {eqnarray *} [/ math]

usando la identidad trigonométrica

[matemáticas] \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b) [/ matemáticas]

y también

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {\ sin (\ Delta x)} {\ Delta x} = 1 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ cos (\ Delta x) = 1 [/ matemáticas]

Answer 4

mediante el uso de derivadas de segundo orden

[matemáticas] \ frac {d} {dx} sinx = \ lim_ {x \ to h} \ dfrac {sin (x + h) -sin (x)} {h} [/ matemáticas]

[math] = \ lim_ {x \ to h} \ dfrac {[sinxcosh + cosxsinh] -sin (x)} {h} [/ math]

[math] = \ lim_ {x \ to h} \ dfrac {cosxsinh-sin (x) + sinxcosh} {h} [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {x \ to h} \ dfrac {cosxsinh-sin (x) (1-cosh)} {h} [/ matemáticas]

[math] = cosx (\ lim_ {x \ to h} \ frac {sinh} {h}) – sinx (\ lim_ {x \ to h} \ frac {1-cosh} {h}) [/ math]

[matemáticas] = cosx (1) -sinx (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] = cosx [/ matemáticas]