¿Cómo se evalúa la integral para que la antiderivada resultante implique dos términos y C?

Answer 1

Escriba [matemáticas] \ sin ^ 5 {x} \ cos ^ 3 {x} = \ sin ^ 3 {x}. \ Cos ^ 2 {x}. (\ Sin ^ 2 {x} \ cos {x}). \\[/matemáticas]

Deje [math] \ sin ^ 2 {x} = t \\ [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ sin ^ 3 {x} = (\ sin ^ 2 {x}) ^ \ frac {3} {2} = t ^ \ frac {3} {2} \\ [/ matemáticas]

para que [matemática] 3 \ sin ^ 2 {x} \ cos {x} dx = \ frac {3} {2} t ^ \ frac {1} {2} dt \\ [/ matemática]

[matemáticas] \ sin ^ 2 {x} \ cos {x} dx = \ frac {1} {2} t ^ \ frac {1} {2} dt. [/ matemáticas]

Además, [matemáticas] \ cos ^ 2 {x} = 1 – \ sin ^ 2 {x} = 1-t. [/ Matemáticas]

Entonces la integral dada

[matemáticas] = \ int {t ^ \ frac {3} {2} (1-t). \ frac {1} {2} t ^ \ frac {1} {2} dt} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces \ int {t ^ 2 (1-t) dt} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces \ int {(t ^ 2-t ^ 3) dt} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ veces [\ frac {t ^ 3} {3} – \ frac {t ^ 4} {4}] + c \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {t ^ 3} {6} – \ frac {t ^ 4} {8} + c \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ sin ^ 3 {x}} {6} – \ frac {\ sin ^ {4} {x}} {8} + c [/ matemáticas]

Answer 2

A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ sin ^ 5 (x) \ cos ^ 3 (x) dx & = \ int \ sin ^ 5 (x) \ cos ^ 2 (x) \ cos (x) dx \ \ & = \ int \ sin ^ 5 (x) (1- \ sin ^ 2 (x)) \ cos (x) dx \ end {align} [/ math]

Dejar

[matemáticas] u = \ sin (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {du} {dx} = \ cos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] du = \ cos (x) dx [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ begin {align} \ int \ sin ^ 5 (x) \ cos ^ 3 (x) dx & = \ int u ^ 5 (1-u ^ 2) du \\ & = \ int u ^ 5 du – \ int u ^ 7 du \\ & = \ frac {u ^ 6} {6} – \ frac {u ^ 8} {8} + C \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ int (\ sin ^ 5 (x) \ cos ^ 3 (x) dx = \ frac {\ sin ^ 6 (x)} {6} – \ frac {\ sin ^ 8 (x)} {8 } + C [/ matemáticas]

Answer 3

Convierta cos ^ 2 (x) en 1-sen ^ 2 (x) y sustituya u = sin (x), du = cos (x) dx

Answer 4

[matemáticas] \ int sin ^ 5 (x) cos ^ 3 (x) dx [/ matemáticas] = [matemáticas] \ int sin ^ 5 (x) cos (x) (1-sin ^ 2 (x)) dx [ /matemáticas]

= [matemáticas] \ int (sin ^ 5 (x) – sin ^ 7 (x)) cos (x) dx [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ frac {sin ^ 6 (x)} {6} – \ frac {sin ^ 8} {8} + C [/ matemáticas]

Ahora que he visto la respuesta real, puedo ver que deberías poder llegar a mi respuesta desde tu respuesta sustituyendo [math] cos ^ 2 (x) = 1 – sin ^ 2 (x) [/ math].

Answer 5

* A2A

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ sin ^ 5 x \ cos ^ 3 x \, \ mathrm {dx} & = \ int \ sin ^ 5x \ cos ^ 2 x \ cos x \, \ mathrm {dx} \\ & = \ int \ sin ^ 5 x (1- \ sin ^ 2x) \ cos x \, \ mathrm {dx} \\\ text {Let} u = \ sin x & \ implica \ mathrm {du} = \ cos x \, \ mathrm {dx} \\ & = \ int u ^ 5 (1-u ^ 2) \ mathrm {du} \\ & = \ int u ^ 5-u ^ 7 \, \ mathrm {du} \\ & = \ dfrac {1} {6} u ^ 6- \ dfrac {1} {8} u ^ 8 + C \\ & = \ boxed {\ dfrac {1} {6 } \ sin ^ 6 x- \ dfrac {1} {8} \ sin ^ 8 x + C} \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]