Editar: Gracias a Gaupal Menon y Gautham Govind A por señalar que me perdí dos casos especiales importantes. Hay dos valores de [matemática] K [/ matemática] para los cuales [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] pueden tomar valores arbitrarios.
Esto surge cuando las ecuaciones [matemáticas] x (1 + K ^ 3) = K (1-K + K ^ 2) [/ matemáticas] se reduce a [matemáticas] 0x = 0 [/ matemáticas] ([matemáticas] x [/ matemática] puede ser cualquiera de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática]). Este es el caso cuando [matemáticas] 1-K + K ^ 2 = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] K = (-1 \ pm i \ sqrt {3}) / 2 [/ matemáticas].
Respuesta original:
No hay soluciones
- Si [matemática] a ^ 3 = b ^ 3 [/ matemática], ¿[matemática] a = b [/ matemática]?
- ¿Qué es 2 / 3x> 1/3?
- ¿La secuencia [math] \ left (\ sin (n! \ Right)) _ n [/ math] converge?
- Cómo reescribir ecuaciones logarítmicas
- ¿Cómo vamos a resolver esta ecuación 36 * 40 = x (x + 4)?
Para cualquier valor de K las ecuaciones se pueden escribir
a = K (1-b), b = K (1-c), c = K (1-a).
Entonces c = K (1 – K (1-b)) = K (1 – K (1 – K (1-c))) = K – K ^ 2 + K ^ 3 (1-c).
Si K = -1 esto da c = -3 + c, es decir, no hay solución con K = -1.
Para todos los demás valores de K,
c (1 + K ^ 3) = K – K ^ 2 + K ^ 3 = K (1 + K ^ 3) / (1 + K)
es decir, c = K / (1 + K) = 1 – 1 / (1 + K).
Por simetría de las ecuaciones, a = b = c = K / (1 + K).
Por lo tanto, los valores de a, byc no son distintos para ningún valor de K.