¿Cuántos valores de K hay, de modo que existan números complejos distintos a, byc que satisfagan a / (1-b) = b / (1-c) = c / (1-a) = K?

Editar: Gracias a Gaupal Menon y Gautham Govind A por señalar que me perdí dos casos especiales importantes. Hay dos valores de [matemática] K [/ matemática] para los cuales [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] pueden tomar valores arbitrarios.

Esto surge cuando las ecuaciones [matemáticas] x (1 + K ^ 3) = K (1-K + K ^ 2) [/ matemáticas] se reduce a [matemáticas] 0x = 0 [/ matemáticas] ([matemáticas] x [/ matemática] puede ser cualquiera de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática]). Este es el caso cuando [matemáticas] 1-K + K ^ 2 = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] K = (-1 \ pm i \ sqrt {3}) / 2 [/ matemáticas].

Respuesta original:

No hay soluciones

Para cualquier valor de K las ecuaciones se pueden escribir

a = K (1-b), b = K (1-c), c = K (1-a).

Entonces c = K (1 – K (1-b)) = K (1 – K (1 – K (1-c))) = K – K ^ 2 + K ^ 3 (1-c).

Si K = -1 esto da c = -3 + c, es decir, no hay solución con K = -1.

Para todos los demás valores de K,

c (1 + K ^ 3) = K – K ^ 2 + K ^ 3 = K (1 + K ^ 3) / (1 + K)

es decir, c = K / (1 + K) = 1 – 1 / (1 + K).

Por simetría de las ecuaciones, a = b = c = K / (1 + K).

Por lo tanto, los valores de a, byc no son distintos para ningún valor de K.

Tenemos números complejos a, b, c y k de manera que,

a / (1-b) = b / (1-c) = c / (1-a)

Por lo tanto, a = K – Kb, b = K – Kc, c = K – Ka

Entonces, a = K – Kb = K – K (K – Kc) = K – K (K – K (K – Ka))

Entonces, a = K – K ^ 2 + K ^ 3 – K ^ 3 a

Entonces, a + K ^ 3 a = K – K ^ 2 + K ^ 3

Entonces, a (1 + K ^ 3) = K (1 – K + K ^ 2)

Entonces, a = K (1-K + K ^ 2) / (1 + K ^ 3) = K (1-K + K ^ 2) / [(1 + K) (K (1-K + K ^ 2) )]

Entonces, a = K / (1 + K), siempre que 1 – K + K ^ 2 no sea igual a 0

Del mismo modo, podemos mostrar que,

b = K / (1 + K), siempre que 1 – K + K ^ 2 no sea igual a 0

y c = K / (1 + K), siempre que 1 – K + K ^ 2 no sea igual a 0

Entonces, si 1 – K + K ^ 2 no es igual a 0, tenemos a = b = c y no hay solución para distintos números complejos a, by c.

Si 1 – K + K ^ 2 = 0, tenemos, K = (1 + sqrt (3) i) / 2 o (1-sqrt (3) i) / 2

y a (1 + K ^ 3) = K (1 – K + K ^ 2)

Entonces, a (1 + K) (1 – K + K ^ 2) = K (1 – K + K ^ 2)

Entonces, a (1 + K) (0) = K (0)

y de manera similar, b (1 + K) (0) = K (0) yc (1 + K) (0) = K (0)

Por lo tanto, a, byc pueden tomar cualquier valor.

Entonces, si K = (1 + sqrt (3) i) / 2 o (1-sqrt (3) i) / 2, a, byc pueden tomar cualquier valor y hay un número infinito de soluciones para distintos números complejos a, by c.

infinitas respuestas para k.

a = b = c es la solución

y k = a / 1-a