Cómo demostrar que [matemáticas] f (x) = \ begin {cases} 0, \; x \ notin \ mathbb {Q} \\ x, \; x \ in \ mathbb {Q} \ end {cases} [/ math] es discontinuo en todas partes excepto en x = 0

Answer 1

Primero necesitamos el hecho de que [math] \ mathbb {Q} [/ math] y [math] \ mathbb {R} – \ mathbb {Q} [/ math] son ​​densos en [math] \ mathbb {R} [/ matemáticas]. Esto puede ser algo que puede asumir en este problema, pero le daré una prueba a continuación por si acaso.

Para mostrar esto, necesitamos que cada intervalo abierto en [math] \ mathbb {R} [/ math] contenga tanto un irracional como un racional. Debe contener un irracional porque la cardinalidad del conjunto [math] (a, a + \ epsilon) [/ math] es incontable para cualquier [math] a, \ epsilon [/ math] y [math] \ mathbb {Q} [ / math] solo es contable.

Para mostrar que contiene un racional, mire el intervalo cerrado [matemáticas] A_0 = [x = \ lfloor a \ rfloor, y = \ lceil a + \ epsilon \ rceil] [/ math]. Aprovechando el hecho de que el promedio de dos racionales es racional, podemos buscar binariamente un racional en [math] (a, a + \ epsilon) [/ math] de la siguiente manera. Deje [math] c_0 = \ frac {x + y} {2} [/ math]. Si [math] c_0 \ in (a, a + \ epsilon) [/ math] hemos terminado. De lo contrario, [math] (a, a + \ epsilon) \ subset [x, c_0] [/ math] o [math] (a, a + \ epsilon) \ subset [c_0, y] [/ math].

Sin pérdida de generalidad, diga [math] (a, a + \ epsilon) \ subset [x, c_0] [/ math]. Deje [math] A_1 = [x, c_0] [/ math] y [math] c_1 = \ frac {x + c_0} {2} [/ math]. Repetimos el procedimiento: si [math] c_1 \ in (a, a + \ epsilon) [/ math] hemos terminado. De lo contrario, dividimos el intervalo y repetimos. Siempre encontraremos un racional en [math] (a, a + \ epsilon) [/ math] de esta manera porque podemos hacer que la longitud de [math] A_i [/ ​​math] sea arbitrariamente pequeña. QED

Ahora que tenemos eso fuera del camino, en el resultado. Arregle [matemáticas] x_0 \ neq 0 [/ matemáticas]. [math] f [/ math] no es continuo en [math] x_0 [/ math] porque desde [math] \ mathbb {Q} [/ math] y [math] \ mathbb {R} – \ mathbb {Q} [ / math] son ​​densos en [math] \ mathbb {R} [/ math] Puedo elegir una secuencia racional [math] x_n [/ math] y una secuencia irracional [math] y_n [/ math] que convergen a [math ] x_0 [/ matemáticas]. Pero [matemática] f (x_n) [/ matemática] converge a [matemática] x_0 [/ matemática] ya que [matemática] g (x) = x [/ matemática] es continua y [matemática] f (y_n) [/ matemática] converge a 0 por definición de [math] f [/ math], violando la definición de continuidad.

Tome el caso [math] x_0 = 0 [/ math] y tome una secuencia [math] x_n [/ math] que converja a [math] x_0 [/ math]. Los términos de [math] f (x_n) [/ math] con [math] x_n \ in \ mathbb {Q} [/ math] convergerán a 0 ya que [math] g (x) = x [/ math] es continuo . Los términos de [math] f (x_n) [/ math] con [math] x_n \ in \ mathbb {R} – \ mathbb {Q} [/ math] convergerán a 0 ya que son la secuencia constante de 0. Por lo tanto, la secuencia converge a 0 y [math] f [/ math] es continua en 0.

Answer 2

Puede probar el reclamo directamente de las definiciones.

Primero, elija algunas [matemáticas] x \ ne 0 [/ matemáticas]. Ahora elija una secuencia de números racionales, [math] \ {q_n \} [/ math], que converja a [math] x [/ math]. Observe que la secuencia [math] \ {f (q_n) \} [/ math] es idéntica a la secuencia [math] \ {q_n \} [/ math] y, por lo tanto, converge al límite de esta secuencia que por construcción es [ matemáticas] x \ ne 0 [/ matemáticas].

Ahora, elija una secuencia de números irracionales, [matemática] \ {r_n \} [/ matemática], que converja a [matemática] x [/ matemática]. Observe que la secuencia [math] \ {f (r_n) \} [/ math] es idénticamente cero para todos [math] n [/ math]. Esta secuencia converge claramente a cero.

Entonces tenemos dos secuencias diferentes, ambas convergen a [math] x [/ math] pero al aplicar la función a esas secuencias se obtienen secuencias que convergen a diferentes valores. Concluimos que [math] \ displaystyle \ lim_ {y \ to x} f (y) [/ math] no existe. (Existe un límite si y solo si todas esas secuencias convergen al mismo valor.) Dado que el límite no existe, la función no puede ser continua ya que la definición de continuidad requiere que el límite exista y sea igual al valor de la función .

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Ahora, solo tenemos que demostrar que el límite existe en cero y es igual a cero para demostrar la continuidad en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Eso se puede hacer muy fácilmente usando la definición de un límite. Elija cualquier [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática]. Deje [math] \ delta = \ epsilon [/ math]. Entonces, si [math] | y-0 | = | y | <\ delta = \ epsilon [/ math], vemos que [math] | f (y) -0) | = | f (y) | \ le | y | <\ epsilon [/ math]. El paso clave aquí es notar que [math] | f (y) | = | y | [/ math] o [math] | f (y) | = 0 [/ math] dependiendo de si [math] y [/ math] es racional. Pero en cualquier caso, [matemáticas] | f (y) | \ le | y | [/ matemáticas].

Answer 3

Recuerde que cada número racional tendrá números irracionales infinitos en su vecindad (en la recta numérica real), de manera similar, cada número irracional tendrá números racionales infinitos en su vecindad.

Ahora, considere el caso donde [math] x \ neq0, [/ math] para un valor racional de [math] x [/ math], [math] f (x) = x [/ math], y para un valor vecino de [matemáticas] x [/ matemáticas], digamos [matemáticas] lim_ {h \ to0} [/ matemáticas] [matemáticas] (x + h) [/ matemáticas], será irracional y [matemáticas] f (x + h) = 0. [/ math] Por lo tanto, [math] f (x) [/ math] es discontinuo cuando [math] x \ neq0 [/ math]

Pero para [matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] 0 [/ matemática] es un número racional, por lo tanto, [matemática] f (x) = x = 0 [/ matemática] y los valores vecinos de [matemática] ] x = 0 [/ matemática] será irracional por lo tanto [matemática] f (0 + h) = f (0-h) = 0. [/ matemática]

Por lo tanto, la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es continua en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

Answer 4

Ya hay un par de excelentes respuestas a esta pregunta. Solo quería sugerir un enfoque constructivo, para demostrar que para cualquier [matemática] x \ in \ R \ setminus \ {0 \} [/ matemática], [matemática] f [/ matemática] es discontinua en [matemática] x [ /matemáticas].

Primero, tenemos que introducir la descomposición decimal de un real. Para cualquier [matemática] x \ in \ R [/ matemática], definamos la secuencia [matemática] r_n (x) [/ matemática] de la siguiente manera:

[matemáticas] r_n (x) = \ frac1 {10 ^ n} \ lfloor 10 ^ nx \ rfloor [/ math].

Como una fracción de dos enteros, [math] r_n \ in \ Q [/ math] para todos [math] n \ in \ N [/ math]. También:

[matemáticas] 10 ^ nx – 1 <\ lfloor 10 ^ nx \ rfloor \ leq 10 ^ nx [/ math]

[matemáticas] x – \ frac1 {10 ^ n}

Por lo tanto, [matemáticas] | r_n (x) – x | \ leq \ frac1 {10 ^ n} [/ math] y [math] r_n (x) \ rightarrow x [/ math].

En segundo lugar, hablaremos sobre la constante de Euler [matemáticas] e [/ matemáticas]. Por definición, [math] e = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n!} [/ Math].

Definamos [matemáticas] q_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k!}, Q_0 = 0 [/ matemáticas]. Para todos [math] n \ in \ N, q_n \ in \ Q [/ math] y [math] q_n \ rightarrow e \ in \ R \ setminus \ Q [/ math].

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Tomemos [math] x_0 \ in \ R \ setminus \ {0 \} [/ math]. Probemos que [math] f [/ math] no es continuo en [math] x_0 [/ math].

Primer caso: [math] x_0 \ in \ R \ setminus \ Q [/ math].

Definamos [math] u_n = r_n (x_0) [/ math], como se definió anteriormente.

Para todos [math] n \ in \ N, u_n \ in \ Q [/ math] y [math] u_n \ rightarrow x_0 [/ math] (ver arriba).

Sin embargo, [math] f (u_n) = u_n [/ math], por lo tanto, [math] f (u_n) \ rightarrow x_0 \ neq 0 = f (x_0) [/ math]. Por lo tanto, [math] f [/ math] no es continuo en [math] x_0 [/ math].

Segundo caso: [matemáticas] x_0 \ in \ Q [/ matemáticas].

Definamos [matemáticas] v_n = x_0 + q_n – e [/ matemáticas].

Para todos [math] n \ in \ N, x_0 \ in \ Q, q_n \ in \ Q [/ math] y [math] -e \ notin \ Q [/ math], luego [math] v_n \ in \ R \ setminus \ Q [/ math]. Además, [math] v_n \ rightarrow x_0 + e – e = x_0 [/ math].

Pero [math] f (v_n) = 0 [/ math] para todos [math] n \ in \ N [/ math], de ahí que [math] f (v_n) \ rightarrow 0 \ neq x_0 = f (x_0) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] f [/ math] no es continuo en [math] x_0 [/ math].

Por lo tanto, para todos [math] x \ in \ R \ setminus \ {0 \} [/ math], [math] f [/ math] no es continuo en [math] x [/ math].

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Hay una última cosa para probar: que [matemática] f [/ matemática] es continua en [matemática] 0 [/ matemática].

Primero, notemos que [math] f (0) = 0 [/ math].

Tomemos [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Tomemos [math] x \ in \ R [/ math] como [math] | x – 0 | <\ varepsilon [/ math].

Si [matemática] x \ in \ Q [/ matemática], entonces [matemática] f (x) = x [/ matemática] y [matemática] | f (x) – f (0) | = | x | <\ varepsilon [/ math].

Si [math] x \ in \ R \ setminus \ Q [/ math], entonces [math] f (x) = 0 [/ math] y [math] | f (x) – f (0) | = 0 <\ varepsilon [/ math].

Por lo tanto, [matemática] f [/ matemática] es continua en [matemática] 0 [/ matemática].