¿Cuáles son los tres números reales que satisfarían [matemáticas] x ^ 6 + y ^ 4 = z ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Si te refieres a enteros:

\ begin {align} 3 ^ 6 + 6 ^ 4 & = 45 ^ 2 \\ 729 + 1296 & = 2025 \\ 27 ^ 2 + 36 ^ 2 & = 45 ^ 2 \ end {align}

Esto muestra que la solución se basa en el triplete pitagórico [matemáticas] 3,4,5 [/ matemáticas], multiplicado por [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

En realidad, cualquier triplete pitagórico que tenga un cuadrado o un cubo perfecto, se puede transformar, como: [matemáticas] 8,15,17 [/ matemáticas], multiplicado por [matemáticas] 15 ^ 3 [/ matemáticas], se convierte en: [ matemáticas] 30 ^ 3,15 ^ 4,17 \ cdot15 ^ 3 [/ matemáticas], de las cuales
\ begin {ecation} 30 ^ 6 + 225 ^ 4 = 57 \, 375 ^ 2. \ end {ecation}

O de [matemáticas] 9,40,41 [/ matemáticas], multiplicado por [matemáticas] 40 ^ 2 [/ matemáticas], obtenemos: [matemáticas] 120 ^ 2,40 ^ 3,40 ^ 2 \ cdot41 [/ matemáticas ]; a partir del cual:
\ begin {ecation} 40 ^ 6 + 120 ^ 4 = 65 \, 600 ^ 2. \ end {ecation}

Si quiere decir números reales, puede elegir cualquier real arbitrario [matemática] x, y [/ matemática], y hacer [matemática] z = \ pm \ sqrt {x ^ 6 + y ^ 4} [/ matemática].

Answer 2

Dado que busca números reales, simplemente elija dos números y calcule el tercero. Pero cuando pides números enteros que dado que no son números primos, puedes decir [matemáticas] x ^ 6 + y ^ 4 = (\ gcd (x, y) \ times \ frac {x} {\ gcd (x, y) }) ^ 6 + (\ gcd (x, y) \ times \ frac {y} {\ gcd (x, y)}) ^ 2 = (\ gcd (x, y)) ^ {10} + \ frac { x ^ 6 + y ^ 4 \ times (\ gcd (x, y) ^ 2)} {(\ gcd (x, y)) ^ 6} = \ frac {(\ gcd (x, y)) ^ {16 } + x ^ 6 + y ^ 4 \ times ((\ gcd (x, y)) ^ 2)} {\ gcd (x, y)) ^ 6} = x ^ 6 + y ^ 4 + 1 [/ matemática ]

entonces [matemáticas] z = \ sqrt {x ^ 6 + y ^ 4 + 1}, \ y = \ sqrt [4] {z ^ 2-x ^ 6-1} \ text {y} x = \ sqrt [6 ] {z ^ 2-y ^ 4-1} [/ matemáticas]

Entonces, para 2 enteros dados, puede verificar un tercero, si es adecuado.

Answer 3

Números reales … Tienes infinitas soluciones … Una simple es (1,1, sqrt2)

Sin embargo, creo que se refería a números naturales (enteros positivos). En este caso, esta es una de las soluciones. (3,6,45) ..