Cómo calcular la integral en esta ecuación, [math] \ displaystyle \ int_1 ^ e \ frac {\ ln x + 3} {x \ ln x + x} \, dx [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_1 ^ e \ frac {\ ln x + 3} {x \ ln x + x} \, dx = \ int_1 ^ e \ frac {1} {x} \, \ frac {\ ln x + 3} {\ ln x + 1} \, dx [/ math]

Deje [math] u = \ ln x [/ math]

• [matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]
• Para [matemáticas] x = 1: u = \ ln 1 = 0 [/ matemáticas]
• Para [matemáticas] x = e: u = \ ln e = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ frac {u + 3} {u + 1} \, du = \ int_0 ^ 1 \ frac {u + 1 + 2} {u + 1} \, du = \ int_0 ^ 1 \ Big (\ frac {u + 1} {u + 1} + \ frac {2} {u + 1} \ Big) \, du = \ int_0 ^ 1 \ Big (1 + 2 \ frac {1 } {u + 1} \ Big) \, du. [/ math]

• [math] \ dfrac {1} {u + 1} [/ math] es la derivada de [math] \ ln | u + 1 | [/ math] y [math] 1 [/ math] es la derivada de [math ] u [/ matemáticas]

Entonces la integral dice:

[matemáticas] \ displaystyle I = \ Big [u + 2 \ ln | u + 1 | \ Big] _0 ^ 1 = 1 + 2 \ ln2-0-2 \ ln1 = 1 + 2 \ ln2 [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int_1 ^ e \ dfrac {\ ln x + 3} {x \ ln x + x} \ mathrm {d} x & = \ int_1 ^ e \ dfrac {\ ln x + 3} {x (\ ln x + 1)} \ mathrm {d} x \\\ text {Let} u = \ ln x & \ implica \ mathrm {du} = \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} \\ & = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {u + 3} {u + 1} \ mathrm {du} \\ & = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {u + 1 + 2} {u + 1} \ mathrm {du} \\ & = \ int_0 ^ 11 + \ dfrac 2 {u + 1} \ mathrm {du} \\ & = u + 2 \ ln | u + 1 | \ bigg | _0 ^ 1 \\ & = \ boxed {1 + 2 \ ln 2} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Esto se vuelve bastante fácil cuando tomamos x común en el denominador y luego procedemos de la siguiente manera:

¡¡¡¡Espero que esto ayude!!!!