Cómo encontrar la suma de la serie [matemáticas] 3 \ left [\ frac {1 ^ 2} {1 ^ 3 + 1} – \ frac {2 ^ 2} {2 ^ 3 + 1} + \ frac {3 ^ 2} {3 ^ 3 + 1} – \ frac {4 ^ 2} {4 ^ 3 + 1} + \ cdots \ right] [/ math]

Answer 1

La famosa serie FoxTrot.

[matemáticas] A_ {k} = \ dfrac {1 ^ 2} {1 ^ 3 + 1} – \ dfrac {2 ^ 2} {2 ^ 3 + 1} + \ dfrac {3 ^ 2} {3 ^ 3 + 1} – \ dfrac {4 ^ 2} {4 ^ 3 + 1} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

En términos de una suma será

[matemáticas] \ begin {align} A_ {k} & = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} \ dfrac {k ^ 2} {1 + k ^ 3} \ tag {1} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} \ left [\ dfrac {1 } {k + 1} + \ dfrac {2k-1} {k ^ 2-k + 1} \ right] \ tag {2} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} \ left [\ dfrac {1} {k + 1} \ right] + \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ sum_ {k = 1 } ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} \ left [\ dfrac {1} {k + e ^ {2 \ pi i / 3}} + \ dfrac {1} {k-1-e ^ {2 \ pi i / 3}} \ right] \ tag {3} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ left (1- \ log 2 \ right) – \ dfrac {1} {3} 2. \ displaystyle \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {2. (- 1) ^ k} {k + e ^ {2 \ pi i / 3}} \ tag {4} \ \ & = \ dfrac {1} {3} \ left (1- \ log 2 \ right) – \ dfrac {\ pi} {3} \ csc \ left (\ pi e ^ {2 \ pi i / 3} \ right) \ tag {5} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ left (1- \ log 2 \ right) + \ dfrac {\ pi} {3} \ mathrm {sech} \ left (\ dfrac {\ pi \ sqrt {3}} {2} \ right) \ end {align} [/ math]

Explicación:

(2) Fracción parcial

(3) Aquí los polos son [math] e ^ {\ pm 2 \ pi i / 3} [/ math] y escriben la fracción parcial anterior en términos de sus polos

[matemáticas] \ begin {align} P (k) & = \ dfrac {2k-1} {k ^ 2-k + 1} \\ & = \ dfrac {1} {k + e ^ {2 \ pi i / 3}} + \ dfrac {1} {k + e ^ {- 2 \ pi i / 3}} \\ & = \ dfrac {1} {k + e ^ {2 \ pi i / 3}} + \ dfrac {1} {k-1-e ^ {2 \ pi i / 3}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

(4) [math] k \ mapsto 1-k [/ math], y simetría

(5) usando una fórmula de sumatoria

[matemática] \ displaystyle \ sum_ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ kf (k) = – \ displaystyle \ sum \ left [\ text {Residue of} \, \ pi \ csc (\ pi z) f (z) \ right] _ {\ text {En los polos de} \, f (z)} \ tag * {} [/ math]

Y si tomamos [matemática] f (k) = \ dfrac {1} {x + k \ pi} [/ matemática], entonces tendremos

[math] \ displaystyle \ sum_ {k \ in \ mathbb {Z}} \ dfrac {(- 1) ^ k} {x + k \ pi} = \ csc (x) \ tag * {} [/ math]

---

Entonces finalmente tenemos

[matemáticas] \ bbox [# AFA, 10px] {A_ {k} = \ dfrac {1} {3} \ left \ {1- \ log 2+ \ pi \ mathrm {sech} \ left (\ dfrac {\ pi \ sqrt {3}} {2} \ right) \ right \}} \ tag * {} [/ math]

Y para la pregunta dada, este valor se multiplicará por 3 y tendremos

[matemáticas] A ‘_ {k} = \ left \ {1- \ log 2+ \ pi \ mathrm {sech} \ left (\ dfrac {\ pi \ sqrt {3}} {2} \ right) \ right \ } \ tag * {} [/ math]

** Tomado toda la idea de esta respuesta (_ / \ _ Ron Gordon) **

Answer 2

Primero tenga en cuenta que n ^ 3 + 1 es cero si n = -1, por lo que n + 1 debe ser un factor. Una vez que factoriza n ^ 3 + 1, puede dividir n ^ 2 / (n ^ 3 + 1) en fracciones parciales. Espero que la suma se telescopio.

Answer 3

Divide la serie en partes pequeñas y resuelve … aquí,

para (i = 1; i <= n; i ++) // para n términos en total
{
numr = (i * i); // para la parte numeradora de la serie
denmr = (i * i * i) +1; // para el denominador parte de la serie

if ((i% 2)! = 0) // para término impar
sum = sum + (numr / denmr);

else // para el término par
sum = sum – (numr / denmr);
}

respuesta = suma * 3;

Eso debería calcular el resultado requerido.

Answer 4

La suma es [matemáticas] 1-ln (2) + pi * sech ((sqrt (3) * pi) / 2) [/ matemáticas]

FYI: sech (x) es la función secante hiperbólica.

Numéricamente, converge a 0.71868224202222584963

Answer 5

No sé cómo hacerlo, esa es la razón principal por la que pregunté ¿Cómo resuelven las preguntas de matemáticas en el siguiente cómic (ver detalles)? de todos modos, aquí está el resultado de WolframAlpha.